contrôle du 03 décembre 2011

Corrigé de l'exercice 2

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

1. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$.

   Posons pour tout réel x, $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=2x& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=2\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2+1& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x\end{array}$ alors, $\begin{array}{ccc}f={\displaystyle \frac{u}{v}}& \text{d'où}& f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}\end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{2\left(x^2+1\right)-2x\times 2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{2x^2+2-4x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{2-2x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2-2x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}}$

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2. g est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=\left(x+1\right)\sqrt{x}$.

   $g=u\times v$ d'où $g\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x strictement positif : $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=x+1& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=1\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=\sqrt{x}& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}\end{array}$

   Soit pour tout réel $x>0$, $$\begin{array}{ccc}g\prime \left(x\right)& =& \sqrt{x}+\left(x+1\right)\times {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}+x+1}{2\sqrt{x}}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{3x+1}{2\sqrt{x}}}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $g\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{3x+1}{2\sqrt{x}}}$

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3. h est définie sur l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$ par $h\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x^2-1}}$.

   $h={\displaystyle \frac{2}{u}}$ d'où $h\prime =2\times \left(-{\displaystyle \frac{u\prime }{u^2}}\right)$ avec pour tout réel $x>1$, $u\left(x\right)=x^2-1$ et $u\prime \left(x\right)=2x$

   Soit pour tout réel $x>1$, $$\begin{array}{ccc}h\prime \left(x\right)& =& -{\displaystyle \frac{2\times 2x}{{\left(x^2-1\right)}^2}}\hfill \\ & =& -{\displaystyle \frac{4x}{{\left(x^2-1\right)}^2}}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $h\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$ par $h\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-4x}{{\left(x^2-1\right)}^2}}$

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