contrôle du 03 décembre 2011

Corrigé de l'exercice 3

1. Dresser sans justification le tableau de variations de la fonction f sur $ℝ$.

   x	$-\infty$		0		$+\infty$
   $f\left(x\right)$

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   Les réponses aux questions suivantes devront être justifiées.

2. 1. Déterminer $f\prime \left(0\right)$

      La tangente à la courbe $C_f$ au point C d'abscisse 0 est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(0\right)=0$.

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   2. Déterminer les solutions de l'équation $f\prime \left(x\right)=0$.

      La courbe $C_f$ admet deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses aux points d'abscisse 0 et 6. Donc $f\prime \left(0\right)=0$ et $f\prime \left(6\right)=0$

      L'équation $f\prime \left(x\right)=0$ admet deux solutions 0 et 6.

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3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point A. En déduire la valeur de $f\prime \left(-2\right)$.

   • Les points A et M n'ont pas la même abscisse donc la droite (AM) a une équation de la forme $y=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{y_M-y_A}{x_M-x_A}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{3}{-3+2}}=-3\end{array}$$

     Par conséquent, une équation de la droite (AM) est : $$\begin{array}{ccc}y=-3\times \left(x-x_A\right)+y_A& \text{Soit}& y=-3\times \left(x+2\right)\iff y=-3x-6\end{array}$$

   • Le nombre dérivé $f\prime \left(-2\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A d'abscisse −2 d'où $f\prime \left(-2\right)=-3$.

   La tangente à la courbe $C_f$ au point A a pour équation $y=-3x-6$ d'où $f\prime \left(-2\right)=-3$.

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4. On donne $f\prime \left(2\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}$. Calculer les coordonnées du point d'intersection de la tangente à la courbe $C_f$ au point D avec l'axe des abscisses.

   La tangente à la courbe $C_f$ au point D d'abscisse 2 a pour équation : $$\begin{array}{ccc}y=f\prime \left(2\right)\times \left(x-2\right)+f\left(2\right)& \text{Soit}& y={\displaystyle \frac{3}{4}}\times \left(x-2\right)-{\displaystyle \frac{3}{2}}\iff y={\displaystyle \frac{3}{4}}x-3\end{array}$$

   L'abscisse du point d'intersection de cette droite avec l'axe des abscisses est solution de l'équation $${\displaystyle \frac{3}{4}}x-3=0\iff x=4$$

   La tangente à la courbe $C_f$ au point D coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(4;0\right)$.

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5. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f\prime$. Déterminer laquelle.

   Courbe $C_1$	Courbe $C_2$	Courbe $C_3$

   Sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ la fonction f est croissante pour tout réel $x⩾0$, on a $f\prime \left(x\right)⩾0$.

   $C_2$ est la seule courbe susceptible de représenter la fonction $f\prime$.

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