contrôles en première ES

contrôle du 03 décembre 2011

Corrigé de l'exercice 4

Soit f la fonction définie sur par f(x)=x2-4x+7x2+3.
On note Cf sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

  1. Montrer que la dérivée de la fonction f est la fonction f définie sur par f(x)=4(x2-2x-3)(x2+3)2.

    f=uv d'où f=uv-uvv2 avec pour tout réel x : {u(x)=x2-4x+7 d'où u(x)=2x-4etv(x)=x2+3 d'où v(x)=2x

    Soit pour tout réel x, f(x)=(2x-4)(x2+3)-2x(x2-4x+7)(x2+3)2=2x3+6x-4x2-12-2x3+8x2-14x(x2+3)2=4x2-8x-12(x2+3)2

    Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction f définie sur par f(x)=4(x2-2x-3)(x2+3)2.


  2. Étudier les variations de la fonction f.

    Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

    Pour tout réel x, (x2+3)2>0. Donc f(x) est du même signe que le polynôme du second degré x2-2x-3 avec a=1, b=-2 et c=-3.
    Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac d'où : Δ=4+12=16

    Δ>0 donc le polynôme a deux racines : x1=-b-Δ2aSoitx1=2-42=-1etx2=-b+Δ2aSoitx2=2+42=3

    Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de f(x) suivant les valeurs du réel x  ainsi que les variations de f :

    x- −1 3 +
    Signe de f(x) +0||0||+ 
    Variations de f fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    3

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    13

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

    calcul des extremum :

    • La fonction f admet un maximum relatif en -1 et f(-1)=1+4+71+3=3

    • La fonction f admet un minimum relatif en 3 et f(3)=9-12+79+3=13

  3. Donner une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 1.
    Représenter la tangente T sur le graphique ci-dessous.

    La tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 1 a pour équation : y=f(1)(x-1)+f(1)

    Or f(1)=1-4+71+3=1etf(1)=4×(1-2-3)(1+3)2=-1

    D'où une équation de la tangente T :y=(x-1)-1y=2-x

    La tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 1 a pour équation y=-x+2.


    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

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