contrôle du 06 avril 2012

Corrigé de l'exercice 1

Les questions suivantes sont indépendantes.

1. Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=-12$ et pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=u_n+{\displaystyle \frac{5}{6}}$. Calculer $u_{42}$.

   La suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par $u_{n+1}=u_n+{\displaystyle \frac{5}{6}}$ est une suite arithmétique de raison ${\displaystyle \frac{5}{6}}$. Par conséquent, pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{ccc}{u}_n=u_0+n\times {\displaystyle \frac{5}{6}}& \text{Soit}& u_n=-12+n\times {\displaystyle \frac{5}{6}}\end{array}$$

   D'où $$u_{42}=-12+42\times {\displaystyle \frac{5}{6}}=23$$

   Ainsi, $u_{42}=23$.

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2. $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison q strictement positive telle que $v_4=48$ et $v_6={\displaystyle \frac{64}{3}}$. Déterminer l'entier p tel que $v_p={\displaystyle \frac{256}{27}}$.

   $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison q d'où $$\begin{array}{ccccc}{v}_6=v_4\times q^{6-4}& \text{Soit}& {\displaystyle \frac{64}{3}}=48\times q^2& \iff & q^2={\displaystyle \frac{4}{9}}\end{array}$$

   Or q est un réel strictement positif d'où $q=\sqrt{{\displaystyle \frac{4}{9}}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

   D'autre part, $$\begin{array}{ccc}{v}_p=v_6\times {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{p-6}& \text{Soit}& {\displaystyle \frac{256}{27}}={\displaystyle \frac{64}{3}}\times {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{p-6}\hfill \\ & \iff & {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{p-6}={\displaystyle \frac{256}{27}}\times {\displaystyle \frac{3}{64}}\hfill \\ & \iff & {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{p-6}={\displaystyle \frac{4}{9}}\hfill \\ & \iff & {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{p-6}={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2\hfill \end{array}$$

   D'où p est l'entier solution de l'équation : $$\begin{array}{ccc}p-6=2& \iff & p=8\end{array}$$

   Ainsi, $v_8={\displaystyle \frac{256}{27}}$.

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