contrôle du 06 avril 2012

exercice 1

Les questions suivantes sont indépendantes.

1. Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=-12$ et pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=u_n+{\displaystyle \frac{5}{6}}$. Calculer $u_{42}$.

2. $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison q strictement positive telle que $v_4=48$ et $v_6={\displaystyle \frac{64}{3}}$.
   Déterminer l'entier p tel que $v_p={\displaystyle \frac{256}{27}}$.

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exercice 2

Soit $\left(w_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel n, $w_n=16\times {\mathrm{0,5}}^n-1$.

1. Calculer les cinq premiers termes de la suite $\left(w_n\right)$.

2. Étudier la monotonie de la suite $\left(w_n\right)$.

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exercice 3

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=10$ et pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=8-\mathrm{0,12}\times {u_n}^2$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

2. On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction f définie pour tout réel f par $f\left(x\right)=8-\mathrm{0,12}{x}^2$ et la droite D d'équation $y=x$.
   On a représenté sur l'axe des abscisses, les deux premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ .

   1. Construire sur l'axe des abscisses les termes $u_2$, $u_3$, $u_4$ et $u_5$.

   2. La suite $\left(u_n\right)$ est-elle monotone ?

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exercice 4

On a tracé ci-dessous, la courbe $C_f$ représentative d'une fonction f définie sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

partie a

1. Par lecture graphique, donner les valeurs de $f\left(1\right)$ et $f\prime \left(1\right)$.

2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f\prime$. Déterminer laquelle.

   Courbe $C_1$	Courbe $C_2$	Courbe $C_3$

partie b

La fonction f est définie sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-6x-7}{x+2}}$.

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

2. Étudier les variations de la fonction f.

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