contrôle du 06 avril 2012

Corrigé de l'exercice 2

Soit $\left(w_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel n, $w_n=16\times {\mathrm{0,5}}^n-1$.

1. Calculer les cinq premiers termes de la suite $\left(w_n\right)$.

   • $w_0=16\times {\mathrm{0,5}}^0-1=15$
   • $w_1=16\times {\mathrm{0,5}}^1-1=7$
   • $w_2=16\times {\mathrm{0,5}}^2-1=3$
   • $w_3=16\times {\mathrm{0,5}}^3-1=1$
   • $w_4=16\times {\mathrm{0,5}}^4-1=0$

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   Les cinq premiers termes de la suite $\left(w_n\right)$ sont 15 ; 7 ; 3 ; 1 et 0.

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2. Étudier la monotonie de la suite $\left(w_n\right)$.

   Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{ccc}{w}_{n+1}-w_n& =& 16\times {\mathrm{0,5}}^{n+1}-1-16\times {\mathrm{0,5}}^n+1\hfill \\ & =& 16\times {\mathrm{0,5}}^{n+1}-16\times {\mathrm{0,5}}^n\hfill \\ & =& 16\times \mathrm{0,5}\times {\mathrm{0,5}}^n-16\times {\mathrm{0,5}}^n\hfill \\ & =& {\mathrm{0,5}}^n\times \left(8-16\right)\hfill \\ & =& -8\times {\mathrm{0,5}}^n\hfill \end{array}$$

   Or pour tout entier naturel n, ${\mathrm{0,5}}^n>0$ d'où $-8\times {\mathrm{0,5}}^n<0$

   Ainsi, pour tout entier naturel n, $w_{n+1}-w_n<0$ donc la suite $\left(w_n\right)$ est strictement décroissante.

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