contrôle du 06 avril 2012

Corrigé de l'exercice 4

partie a

1. Par lecture graphique, donner les valeurs de $f\left(1\right)$ et $f\prime \left(1\right)$.

   • La courbe $C_f$ passe par le point de coordonnées $\left(1;-4\right)$ donc $f\left(1\right)=-4$

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   • La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(1\right)=0$

2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f\prime$. Déterminer laquelle.

   f est décroissante sur l'intervalle $\left]-2;1\right[$ donc sur cet intervalle, $f\prime \left(x\right)⩽0$. La courbe $C_1$ est la seule des trois courbes susceptible de représenter la fonction $f\prime$.

   Courbe $C_1$	Courbe $C_2$	Courbe $C_3$

partie b

La fonction f est définie sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-6x-7}{x+2}}$.

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$ : $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=x^2-6x-7& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=2x-6\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x+2& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=1\end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(2x-6\right)\times \left(x+2\right)-\left(x^2-6x-7\right)}{{\left(x+2\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{2x^2+4x-6x-12-x^2+6x+7}{{\left(x+2\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{x^2+4x-5}{{\left(x+2\right)}^2}}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2+4x-5}{{\left(x+2\right)}^2}}$.

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2. Étudier les variations de la fonction f.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

   Pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$, ${\left(x+2\right)}^2>0$. Donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $x^2+4x-5$ avec $a=1$, $b=4$ et $c=-5$.
   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=16+20=36\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-4-6}{2}}=-5\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-4+6}{2}}=1\end{array}$$

   Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$, le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x  ainsi que les variations de f :

   x	$-2$				1		$+\infty$
   Signe de $f\prime \left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\left(x\right)$					$-4$

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   calcul du minimum :

   La fonction f admet un minimum relatif en 1 et $$f\left(1\right)={\displaystyle \frac{1-6-7}{3}}=-4$$

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