contrôle du 25 janvier 2018

Corrigé de l'exercice 1

1. On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f. Déterminer graphiquement $f\prime \left(1\right)$ et $f\prime \left(-3\right)$.

   • La courbe admet au point B d'abscisse 1 une tangente parallèle à l'axe des abscisses donc le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)=0$

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   • Le nombre dérivé $f\prime \left(-3\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $A\left(-3;-1\right)$ or cette tangente passe également par le point de coordonnées $\left(-1;-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ d'où $$f\prime \left(-3\right)={\displaystyle \frac{-1+\mathrm{0,5}}{-3+1}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$

     Ainsi, $f\prime \left(-3\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}$

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2. On sait que $f\prime \left(0\right)=1$. Le point de coordonnées $\left(-1;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ appartient-il à la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 0 ?

   • méthode 1

     Calculons le coefficient directeur m de la droite passant par le point $C\left(0;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ d'abscisse 0 de la courbe et le point de coordonnées $\left(-1;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$$$m={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}+\mathrm{0,5}}{0+1}}=1$$

     $m=f\prime \left(0\right)$ donc le point de coordonnées $\left(-1;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ appartient à la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.

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   • méthode 2

     Une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0 est : $$\begin{array}{ccc}y=f\prime \left(0\right)\times \left(x-0\right)+f\left(0\right)& \text{Soit}& y=x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

     Or $-1+{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Les coordonnées $\left(-1;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ vérifient l'équation $y=x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$ donc :

     le point de coordonnées $\left(-1;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ appartient à la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.

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3. La proposition $f\prime \left(-2\right)⩽f\prime \left(3\right)$ est-elle vraie ?

   • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;1\right]$, la fonction f est croissante donc $f\prime \left(-2\right)⩾0$.

   • Sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$, la fonction f est décroissante donc $f\prime \left(3\right)⩽0$.

   Ainsi, $f\prime \left(-2\right)⩾f\prime \left(3\right)$.

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