contrôle du 25 janvier 2018

Corrigé de l'exercice 3

partie a

1. Justifier que pour tout réel x, on a : $x^2-6x+21>0$.

   Soit $P\left(x\right)=x^2-6x+21$ le polynôme du second degré avec $a=1$, $b=-6$ et $c=21$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=36-4\times 21=-48$.

   Comme $\mathrm{\Delta }<0$ alors, pour tout réel x, $P\left(x\right)$ est du même signe que a soit $P\left(x\right)>0$.

   Ainsi, pour tout réel x, on a : $x^2-6x+21>0$.

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2. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Montrer que $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{192x-576}{{\left(x^2-6x+21\right)}^2}}$.

   f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $v\ne 0$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;8\right]$ : $$\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=\mathrm{13,5}{x}^2-81x+\mathrm{187,5}& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=27x-81\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2-6x+21& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x-6\end{array}$$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(27x-81\right)\times \left(x^2-6x+21\right)-\left(\mathrm{13,5}{x}^2-81x+\mathrm{187,5}\right)\times \left(2x-6\right)}{{\left(x^2-6x+21\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(27x^3-162x^2+567x-81x^2+486x-1701\right)-\left(27x^3-162x^2+375x-81x^2+486x-1125\right)}{{\left(x^2-6x+21\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{567x-375x-1701+1125}{{\left(x^2-6x+21\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{192x-576}{{\left(x^2-6x+21\right)}^2}}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;8\right]$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{192x-576}{{\left(x^2-6x+21\right)}^2}}$.

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3. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

      Pour tout réel x, ${\left(x^2-6x+21\right)}^2>0$. Donc sur l'intervalle $\left[0;8\right]$, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $192x-576$. D'où le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ :

      x	0		3		8
      $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   2. Donner le tableau des variations de f.

      On a : $f\left(0\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{187,5}}{21}}={\displaystyle \frac{\mathrm{62,5}}{7}}$ ; $f\left(3\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{13,5}\times 9-81\times 3+\mathrm{187,5}}{9-6\times 3+21}}=\mathrm{5,5}$   et $f\left(8\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{13,5}\times 64-81\times 8+\mathrm{187,5}}{64-6\times 8+21}}={\displaystyle \frac{\mathrm{403,5}}{37}}$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      x	0		3		8
      $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$	$\frac{\mathrm{62,5}}{7}$		5,5		$\frac{\mathrm{403,5}}{37}$

4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point A d'abscisse 5. Tracer sur le graphique donné, la tangente T.

   Une équation de la tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point A d'abscisse 5 est :$$y=f\prime \left(5\right)\times \left(x-5\right)+f\left(5\right)$$

   Or $f\prime \left(5\right)={\displaystyle \frac{192\times 5-576}{{\left(25-6\times 5+21\right)}^2}}=\mathrm{1,5}$ et $f\left(5\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{13,5}\times 25-81\times 5+\mathrm{187,5}}{25-6\times 5+21}}=\mathrm{7,5}$ d'où une équation de la tangente T :$$\begin{array}{ccc}y=\mathrm{1,5}\times \left(x-5\right)+\mathrm{7,5}& \iff & y=\mathrm{1,5}x\end{array}$$

   La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point A d'abscisse 5 a pour équation $y={\displaystyle \frac{3}{2}}x$.

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   La droite T passe par l'origine du repère et par le point A.

partie b

Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Sa capacité de production quotidienne est limitée à 8 milliers d'articles.
Soit x le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque jour. Le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué est modélisé par $f\left(x\right)$ où f est la fonction définie dans la partie A.

1. À partir de quel prix de vente unitaire, l'entreprise fera-t-elle un bénéfice ?

   Le coût moyen minimal de production d'un article est $f\left(3\right)=\mathrm{5,5}$.

   Pour réaliser un bénéfice, le prix de vente d'un article doit être supérieur à 5,50 €.

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2. On suppose que chaque article produit est vendu au prix de 7,50 €. Calculer l'intervalle dans lequel doit se situer la production pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif ou nul.

   L'entreprise réalise un bénéfice quand le coût moyen de production d'un article est inférieur au prix de vente soit pour une production de x milliers d'articles tel que $f\left(x\right)⩽\mathrm{7,5}$.

   Or pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{\mathrm{13,5}{x}^2-81x+\mathrm{187,5}}{x^2-6x+21}}⩽\mathrm{7,5}& \iff & {\displaystyle \frac{\mathrm{13,5}{x}^2-81x+\mathrm{187,5}}{x^2-6x+21}}-\mathrm{7,5}⩽0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{\mathrm{13,5}{x}^2-81x+\mathrm{187,5}-\mathrm{7,5}{x}^2+45x-\mathrm{157,5}}{x^2-6x+21}}⩽0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{6x^2-36x+30}{x^2-6x+21}}⩽0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{x^2-6x+5}{x^2-6x+21}}⩽0\end{array}$$

   Comme pour tout réel x, $x^2-6x+21>0$ on en déduit que résoudre l'inéquation ${\displaystyle \frac{x^2-6x+5}{x^2-6x+21}}⩽0$ équivaut à résoudre l'inéquation $x^2-6x+5⩽0$.

   Le discriminant du trinôme $x^2-6x+5$ est $\mathrm{\Delta }=36-4\times 5=16$. Le trinôme admet deux racines :$$\begin{array}{ccc}{x}_1={\displaystyle \frac{6-4}{2}}=1& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{6+4}{2}}=5\end{array}$$

   Nous pouvons déduire le tableau du signe du trinôme $x^2-6x+5$ sur l'intervalle $\left[1;5\right]$ :

   x	0		1		5		8
   $x^2-6x+5$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   Ainsi, $f\left(x\right)⩽\mathrm{7,5}$ pour x appartenant à l'intervalle $\left[1;5\right]$.

   L'entreprise réalise un bénéfice pour une production comprise entre 1 000 et 5 000 articles par jour.

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