composition de fonctions et sens de variation

( hors programme 2010 )

composée de deux fonctions

f et g sont deux fonctions l'expression de la fonction f composée de la fonction f suivie de g est donnée par le montage suivant : $$h:x\stackrel{\text{fonction }f}{\mapsto }f\left(x\right)\stackrel{\text{fonction }g}{\mapsto }\underset{h\left(x\right)=g\circ f\left(x\right)}{\underbrace{g\left[f\left(x\right)\right]}}$$

On note $g\circ f$ la fonction composée f suivie de g.

Par exemple si f est la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x^2$ et g la fonction définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=\sqrt{x}$.

La fonction $h=g\circ f$ est la fonction définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $h\left(x\right)=\sqrt{x^2}=\left|x\right|$.

sens de variation

On s'intéresse au problème suivant :
" À partir du sens de variation des fonctions f et g peut-on déduire le sens de variation de la fonction composée f suivie de g ?".

Considérons les fonctions f et g définies sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=1-x^2$ et $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$

La fonction composée $h=g\circ f$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $h\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{{\left(1-x^2\right)}^2+1}}$

observation graphique

Ci-dessous les courbes représentatives des fonctions f, g et h ont été tracées dans un repère orthonormal.

Les fonctions f et g sont croissantes sur $\left]-\infty ;0\right]$ et décroissantes sur $\left[0;+\infty \right[$. À priori les variations de la fonction h ne semblent pas dépendre des variations des fonctions f et g.

Étudions de manière conjointe les variations des fonctions f et g en faisant intervenir l'intervalle d'arrivée de la fonction f.

• $M\in \left]-\infty ;-1\right]$ :

  Si $x⩽-1$ alors $x^2⩾1$ d'où $-x^2⩽-1$ et $1-x^2⩽0$.
  Sur l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$ la fonction f est croissante et $f\left(x\right)$ appartient à l'intervalle $\left]-\infty ;0\right]$, or sur cet intervalle, la fonction g est croissante.
  On constate que pour tout réel $x⩽-1$ la fonction composée $h=g\circ f$ est croissante.

• $M\in \left]-1;0\right]$ :

  Si $-1⩽x⩽0$ alors $0⩽x^2⩽1$ d'où $-1⩽-x^2⩽0$ et $0⩽1-x^2⩽1$.
  

  Sur l'intervalle $\left[-1;0\right]$ la fonction f est croissante et $f\left(x\right)$ appartient à l'intervalle $\left[0;1\right]$, or sur cet intervalle, la fonction g est décroissante.
  On constate que sur l'intervalle $\left[-1;0\right]$ la fonction composée $h=g\circ f$ est décroissante.

• $M\in \left[0;1\right]$ :

  Si $0⩽x⩽1$ alors $0⩽x^2⩽1$ d'où $-1⩽-x^2⩽0$ et $0⩽1-x^2⩽1$.
  Sur l'intervalle $\left[0;1\right]$ la fonction f est décroissante et $f\left(x\right)$ appartient à l'intervalle $\left[0;1\right]$, or sur cet intervalle, la fonction g est également décroissante.
  On constate que sur l'intervalle $\left[0;1\right]$ la fonction composée $h=g\circ f$ est croissante.

• $M\in \left[1;+\infty \right[$ :

  Si $x⩾1$ alors $x^2⩾1$ d'où $-x^2⩽-1$ et $1-x^2⩽0$.
  Sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ la fonction f est décroissante et $f\left(x\right)$ appartient à l'intervalle $\left]-\infty ;0\right]$, or sur cet intervalle, la fonction g est croissante.
  On constate que sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ la fonction composée $h=g\circ f$ est décroissante.

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théorème

Démonstration :

Soient a et b sont deux réels de l'intervalle I tels que $a<b$. Comme f est à valeurs dans J, leurs images respectives $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$ sont deux deux réels de l'intervalle J.

1. Cas où les deux fonctions f et g ont le même sens de variation.

   1. f et g sont croissantes :

      Comme f est strictement croissante sur I, si $a<b$ alors $f\left(a\right)<f\left(b\right)$ (on conserve l'ordre !)
      Or g est strictement croissante sur J d'où $f\left(a\right)<f\left(b\right)\Rightarrow g\left[f\left(a\right)\right]<g\left[f\left(b\right)\right]$ (on conserve l'ordre !)

      Ainsi, si f et g sont strictement croissantes, la fonction composée $h=g\circ f$ est strictement croissante sur I.

   2. f et g sont décroissantes :

      Comme f est strictement décroissante sur I, si $a<b$ alors $f\left(a\right)>f\left(b\right)$ (on change l'ordre !)
      Or g est strictement décroissante sur J d'où $f\left(a\right)>f\left(b\right)\Rightarrow g\left[f\left(a\right)\right]<g\left[f\left(b\right)\right]$ (on change l'ordre !)

      Ainsi, si f et g sont strictement décroissantes, la fonction composée $h=g\circ f$ est strictement croissante sur I.

   Si les fonctions strictement monotones f et g ont les mêmes variations, la fonction composée $h=g\circ f$ est strictement croissante.

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2. Cas où les deux fonctions f et g n'ont pas le même sens de variation.

   1. f est croissante et g décroissante :

      Comme f est strictement croissante sur I, si $a<b$ alors$f\left(a\right)<f\left(b\right)$ (on conserve l'ordre !)
      Or g est strictement décroissante sur J d'où $f\left(a\right)<f\left(b\right)\Rightarrow g\left[f\left(a\right)\right]>g\left[f\left(b\right)\right]$ (on change l'ordre !)

      Ainsi, la fonction composée $h=g\circ f$ est strictement décroissante sur I.

   2. f est décroissante et g croissante :

      Comme f est strictement décroissante sur I, si $a<b$ alors $f\left(a\right)>f\left(b\right)$ (on change l'ordre !)
      Or g est strictement croissante sur J d'où $f\left(a\right)>f\left(b\right)\Rightarrow g\left[f\left(a\right)\right]>g\left[f\left(b\right)\right]$ (on conserve l'ordre !)

      Ainsi, la fonction composée $h=g\circ f$ est strictement décroissante sur I.

   Si les fonctions strictement monotones f et g n'ont pas les mêmes variations, la fonction composée $h=g\circ f$ est strictement décroissante.

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cas particuliers

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exemples

exercice 1

Écrire la fonction f comme composée d'une fonction u suivie d'une fonction v.

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1. f est définie sur $\left]2;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x-2}}$.

   Pour calculer l'image d'un réel $x>2$ par la fonction f, on effectue les calculs de la façon suivante:

   • on calcule la différence $x-2$;
   • puis on prend l'inverse;

   On enchaîne donc, la fonction affine $u:x\mapsto x-2$ suivie de la fonction inverse $v:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$, ce que l'on peut traduire par le schéma suivant : $$x\stackrel{\text{fonction }u}{\mapsto }x-2\stackrel{\text{fonction }v}{\mapsto }{\displaystyle \frac{1}{x-2}}$$

   f étant définie sur $\left]2;+\infty \right[$, u doit être définie sur $\mathrm{I}=\left]2;+\infty \right[$, ce qui est le cas puisque l'ensemble de définition d'une fonction affine est $ℝ$.

   v n'est pas définie en 0, et pour tout réel x appartenant à $\mathrm{I}=\left]2;+\infty \right[,x-2>0$, donc $u\left(x\right)\in \left]0;+\infty \right[$;
   on peut donc  définir v sur $\left]0;+\infty \right[$.

   f est la composée d'une fonction u suivie d'une fonction v, (on note $f=v\circ u$) avec :

   • u définie sur $\left]2;+\infty \right[$ par $u\left(x\right)=x-2$
   • v définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $v\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$

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2. u est la fonction définie sur $\left]1;+\infty \right[$ par $u\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}$, v est la fonction définie sur $ℝ$ par $v\left(x\right)=2x-3$ et g est la composée de la fonction u suivie de v, définie sur $\left]1;+\infty \right[$.
   Donner l'expression de $g\left(x\right)$.

   Pour donner l'expression de $g\left(x\right)$ on peut s'aider d'un schéma traduisant le fait que g est la composée de la fonction u suivie de v.

   $$x\stackrel{u}{⟼}u\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}\stackrel{v}{⟼}v\left({\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}\right)=2\times \left({\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}\right)-3$$

   Ainsi g est la fonction définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x^2-1}}-3$

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Exercice 2

La courbe ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction u définie sur $ℝ$.

On considère la fonction f définie par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{u\left(x\right)}}$

1. Pour quelles valeurs du réel x la fonction f n'est pas définie ?

   La fonction f est définie sur tout intervalle où la fonction u ne s'annule pas.

   Or la courbe représentative de la fonction u coupe l'axe des abscisses en deux points d'abscisses respectives − 1 et 3.

   La fonction f n'est pas définie pour $-1$ et 3.

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2. Établir le tableau des variations de la fonction f . Préciser l'extremum de la fonction f.

   Les fonctions f et u ont des variations contraires sur tout intervalle où la fonction u ne s'annule pas.

   x

   $-\infty$

   $-1$

   ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

   3

   $+\infty$

   $u\left(x\right)$

   $-\frac{2}{3}$

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