composée de deux fonctions

composition de fonctions et sens de variation

composée de deux fonctions

f et g sont deux fonctions l'expression de la fonction composée f suivie de g est donnée par le montage suivant:

Montage f suivie de g

On note gf la fonction composée f suivie de g.

Par exemple si f est la fonction définie sur par fx=x2 et g la fonction définie sur 0+ par gx =x.

La fonction h=gf est la fonction définie sur 0+ par hx=x2=|x|.

sens de variation

On s'intéresse au problème suivant :
" À partir du sens de variation des fonctions f et g peut-on déduire le sens de variation de la fonction composée f suivie de g ?".

Considérons les fonctions f et g définies sur par fx=1-x2 et gx=1x2+1

La fonction composée h=gf est la fonction définie sur par hx=11-x22+1

observation graphique

Ci-dessous les courbes représentatives des fonctions f, g et h ont été tracées dans un repère orthonormal.

Les fonctions f et g sont croissantes sur -0 et décroissantes sur 0+. À priori les variations de la fonction h ne semblent pas dépendre des variations des fonctions f et g.

Étudions de manière conjointe les variations des fonctions f et g en faisant intervenir l'intervalle d'arrivée de la fonction f.

  • Déplacer le point M entre - et − 1 :

    Si x-1 alors x21 d'où -x2-1 et 1-x20.
    Sur l'intervalle --1 la fonction f est croissante et fx appartient à l'intervalle -0, or sur cet intervalle, la fonction g est croissante.
    On constate que sur l'intervalle x-1 la fonction composée h=gf est croissante.

  • Déplacer le point M entre − 1 et 0 :

    Si -1x0 alors 0x21 d'où -1-x20 et 01-x21.

    Sur l'intervalle -10 la fonction f est croissante et fx appartient à l'intervalle 01, or sur cet intervalle, la fonction g est décroissante.
    On constate que sur l'intervalle -10 la fonction composée h=gf est décroissante.

  • Déplacer le point M entre 0 et 1 :

    Si 0x1 alors 0x21 d'où -1-x20 et 01-x21.
    Sur l'intervalle 01 la fonction f est décroissante et fx appartient à l'intervalle 01, or sur cet intervalle, la fonction g est également décroissante.
    On constate que sur l'intervalle 01 la fonction composée h=gf est croissante.

  • Déplacer le point M entre 1 et + :

    Si x1 alors x21 d'où -x2-1 et 1-x20.
    Sur l'intervalle 1+ la fonction f est décroissante et fx appartient à l'intervalle -0, or sur cet intervalle, la fonction g est croissante.
    On constate que sur l'intervalle 1+ la fonction composée h=gf est décroissante.

Courbe représentative des fonctions f, g et h : L'illustration flash n'est pas visible par votre navigateur.

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théorème

I et J sont deux intervalles. f est une fonction strictement monotone et définie sur I et à valeurs dans J. g est une fonction définie et strictement monotone sur J .

  • Lorsque f et g ont le même sens de variation (f sur I et g sur J), alors gf est strictement croissante sur I.
  • Lorsque f et g ont des sens de variation différents (f sur I et g sur J), alors gf est strictement décroissante sur I.

Démonstration :

Soient a et b sont deux réels de l'intervalle I tels que a<b. Comme f est à valeurs dans J, leurs images respectives fa et fb sont deux deux réels de l'intervalle J.

  1. Cas où les deux fonctions f et g ont le même sens de variation.

    1. f et g sont croissantes :

      Comme f est strictement croissante sur I, si a<b alors fa<fb (on conserve l'ordre !)
      Or g est strictement croissante sur J d'où fa<fbgfa<gfb (on conserve l'ordre !)

      Ainsi, si f et g sont strictement croissantes, la fonction composée h=gf est strictement croissante sur I.

    2. f et g sont décroissantes :

      Comme f est strictement décroissante sur I, si a<b alors fa>fb (on change l'ordre !)
      Or g est strictement décroissante sur J d'où fa>fbgfa<gfb (on change l'ordre !)

      Ainsi, si f et g sont strictement décroissantes, la fonction composée h=gf est strictement croissante sur I.

    Si les fonctions strictement monotones f et g ont les mêmes variations, la fonction composée h=gf est strictement croissante.


  2. Cas où les deux fonctions f et g n'ont pas le même sens de variation.

    1. f est croissante et g décroissante :

      Comme f est strictement croissante sur I, si a<b alorsfa<fb (on conserve l'ordre !)
      Or g est strictement décroissante sur J d'où fa<fbgfa>gfb (on change l'ordre !)

      Ainsi, la fonction composée h=gf est strictement décroissante sur I.

    2. f est décroissante et g croissante :

      Comme f est strictement décroissante sur I, si a<b alors fa>fb (on change l'ordre !)
      Or g est strictement croissante sur J d'où fa>fbgfa>gfb (on conserve l'ordre !)

      Ainsi, la fonction composée h=gf est strictement décroissante sur I.

    Si les fonctions strictement monotones f et g n'ont pas les mêmes variations, la fonction composée h=gf est strictement décroissante.


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