Le second degré

I - Fonction polynôme du second degré

1 - Définition

Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ où a, b, c sont des réels et $a\ne 0$.

exemples

• La fonction f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=-\mathrm{0,5}{x}^2+\sqrt{2}$ est une fonction polynôme du second degré avec $a=-\mathrm{0,5}$, $b=0$ et $c=\sqrt{2}$.
• La fonction g définie pour tout réel x par $g\left(x\right)={\left(2x+1\right)}^2-3x$ est une fonction polynôme du second degré car, pour tout réel x, $g\left(x\right)=4x^2+x+1$ ($a=4$, $b=1$ et $c=1$)
• La fonction h définie pour tout réel x par $h\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{x^2+x+1}}$ n'est pas une fonction polynôme.

2 - Forme canonique

Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ avec $a\ne 0$, peut s'écrire sous la forme : $$\begin{array}{cc}f\left(x\right)=a{\left(x-\alpha \right)}^2+\beta & \text{avec}\alpha =-{\displaystyle \frac{b}{2a}}\text{et}\beta =f\left(\alpha \right)\end{array}$$

démonstration

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ avec $a\ne 0$.

Comme $a\ne 0$, pour tout réel x, $f\left(x\right)=a\left(x^2+{\displaystyle \frac{b}{a}}x+{\displaystyle \frac{c}{a}}\right)$. Or pour tout réel x, ${\left(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2=x^2+{\displaystyle \frac{b}{a}}x+{\displaystyle \frac{b^2}{4a^2}}$. On en déduit que pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& a\left[{\left(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{b^2}{4a^2}}+{\displaystyle \frac{c}{a}}\right]\\ & =& a\left[{\left(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right]\\ & =& a{\left(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a}}\end{array}$$

Soit en posant $\alpha =-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ et $\beta =f\left(\alpha \right)=-{\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a}}$, on obtient pour tout réel x, $f\left(x\right)=a{\left(x-\alpha \right)}^2+\beta$.

exemple

Cherchons la forme canonique de la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=-2x^2-3x+2$.

Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& -2\left(x^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}x-1\right)\\ & =& -2\left[{\left(x+{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{9}{16}}-1\right]\\ & =& -2\left[{\left(x+{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{25}{16}}\right]\end{array}$$

Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)=-2{\left(x+{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{25}{8}}$.

3 - Variations

démonstration

La forme canonique d'une fonction polynôme du second degré, permet de déduire ses variations à partir des variations de la fonction carré.

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ avec $a\ne 0$, alors pour tout réel x, $f\left(x\right)=a{\left(x-\alpha \right)}^2+\beta$ avec $\alpha =-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ et $\beta =f\left(\alpha \right)$.

1. Étudions le cas où $a<0$

   • Si $x_1<x_2⩽\alpha$ alors, $x_1-\alpha <x_2-\alpha ⩽0$ comme la fonction carré est strictement décroissante sur $\left]-\infty ;0\right]$ on en déduit que $$\begin{array}{rcll}{\left(x_1-\alpha \right)}^2>{\left(x_2-\alpha \right)}^2& \iff & a{\left(x_1-\alpha \right)}^2<a{\left(x_2-\alpha \right)}^2& a<0\text{!}\\ & \iff & a{\left(x_1-\alpha \right)}^2+\beta <a{\left(x_2-\alpha \right)}^2+\beta & \\ & \text{soit}& f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)& \end{array}$$ La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;\alpha \right]$
   • Si $\alpha ⩽x_1<x_2$ alors, $0⩽x_1-\alpha <x_2-\alpha$ comme la fonction carré est strictement croissante sur $\left[0;+\infty \right[$ on en déduit que $$\begin{array}{rcll}{\left(x_1-\alpha \right)}^2<{\left(x_2-\alpha \right)}^2& \iff & a{\left(x_1-\alpha \right)}^2>a{\left(x_2-\alpha \right)}^2& a<0\text{!}\\ & \iff & a{\left(x_1-\alpha \right)}^2+\beta >a{\left(x_2-\alpha \right)}^2+\beta & \\ & \text{soit}& f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)& \end{array}$$ La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left[\alpha +\infty \right[$

   Ainsi, si $a<0$ la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;-{\displaystyle \frac{b}{2a}}\right]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $\left[-{\displaystyle \frac{b}{2a}};+\infty \right[$

2. Étudions le cas où $a>0$

   • Si $x_1<x_2⩽\alpha$ alors, $x_1-\alpha <x_2-\alpha ⩽0$ d'où $$\begin{array}{rcl}{\left(x_1-\alpha \right)}^2>{\left(x_2-\alpha \right)}^2& \iff & a{\left(x_1-\alpha \right)}^2>a{\left(x_2-\alpha \right)}^2\\ & \iff & a{\left(x_1-\alpha \right)}^2+\beta >a{\left(x_2-\alpha \right)}^2+\beta \\ & \text{soit}& f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)\end{array}$$ La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;\alpha \right]$
   • Si $\alpha ⩽x_1<x_2$ alors, $0⩽x_1-\alpha <x_2-\alpha$ d'où $$\begin{array}{rcl}{\left(x_1-\alpha \right)}^2<{\left(x_2-\alpha \right)}^2& \iff & a{\left(x_1-\alpha \right)}^2<a{\left(x_2-\alpha \right)}^2\\ & \iff & a{\left(x_1-\alpha \right)}^2+\beta <a{\left(x_2-\alpha \right)}^2+\beta \\ & \text{soit}& f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)& \end{array}$$ La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $\left[\alpha +\infty \right[$

   Ainsi, si $a>0$ la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;-{\displaystyle \frac{b}{2a}}\right]$ et strictement croissante sur l'intervalle $\left[-{\displaystyle \frac{b}{2a}};+\infty \right[$

exemple

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par par $f\left(x\right)=-3x^2-2x+1$. Ici $a=-3$, $b=-2$ et $c=1$. Ainsi, $-{\displaystyle \frac{b}{2a}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ et $f\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}$.
Comme $a<0$, on en déduit le tableau des variations de f :

x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{1}{3}}$		$+\infty$
$f\left(x\right)$			${\displaystyle \frac{1}{3}}$

4 - Courbe représentative

Dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ du plan, la courbe représentative d'une fonction polynôme f de degré 2 définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ avec $a\ne 0$ est une parabole.
On dit que la parabole a pour équation $y=a{x}^2+bx+c$.

Le sommet S de la parabole a pour abscisse $\alpha =-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$. Il correspond au maximum ou au minimum sur $ℝ$ de la fonction f.

La parabole a pour axe de symétrie la droite d'équation $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$.

$a<0$	$a>0$
La parabole est tournée vers le bas.	La parabole est tournée vers le haut

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Symétrie de la parabole

Pour des raisons de symétrie, l'abscisse α du sommet de la parabole est la moyenne des abscisses $x_1$ et $x_2$ de deux points de la parabole ayant même ordonnée : $\alpha ={\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}$.

exemple

f est une fonction polynôme de degré 2 définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ telle que $f\left(-1\right)=0$, $f\left(1\right)=-10$ et $f\left(4\right)=-10$. On note $𝒫$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.

1. Quelle est l'abscisse du sommet S de la parabole $𝒫$ ?

   $f\left(1\right)=f\left(4\right)=-10$ donc l'abscisse du sommet S est $\alpha ={\displaystyle \frac{1+4}{2}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$.

2. Quelles les coordonnées des points d'intersection de la parabole $𝒫$ avec l'axe des abscisses ?

   $f\left(-1\right)=0$ donc la parabole $𝒫$ coupe l'axe des abscisses au point A de coordonnées $\left(-1;0\right)$. L'abscisse $x_B$du deuxième point d'intersection est telle que : $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{-1+x_B}{2}}={\displaystyle \frac{5}{2}}& \iff & x_B=6\end{array}$$

   Ainsi, la parabole $𝒫$ coupe l'axe des abscisses en deux points $A\left(-1;0\right)$ et $B\left(6;0\right)$

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