cours première ES

Dérivation

I - Nombre dérivé

1 - Taux d'accroissement d'une fonction

définition

f est une fonction définie sur un intervalle I. Soient a et a+h (avec h0) deux réels distincts de l'intervalle I .
On a appelle taux d'accroissement de la fonction f entre a et a+h le nombre fa+h-fah.

remarque : Le nombre fa+h-fah est aussi appelé accroissement moyen de la fonction f entre a et a+h.

exemple

Soit f la fonction définie sur par fx=x2-x-1. Le taux d'accroissement entre 2 et 2+h est : f2+h-f2h=2+h2-2+h-1-22-2-1h=h2+4h+4-2-h-1-1h=h2+3hh=h+3Carh0

interprétation graphique

Aafa et Ma+hfa+h sont deux points de la courbe 𝒞f représentative de la fonction f.

Taux de variation de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Les points A et M n'ayant pas la même abscisse, le coefficient directeur de la droite (AM) est :ΔyΔx=accroissement des ordonnéesaccroissement des abscisses=yM-yAxM-xA

Ainsi, le taux d'accroissement de f entre a et a+h est égal au coefficient directeur de la sécante (AM) à la courbe 𝒞f :ΔyΔx=fa+h-fah

notion de tangente

On s'intéresse au taux d'accroissement fa+h-fah de la fonction f quand h prend des valeurs de plus en plus proches de 0.

Soient Aafa et Ma+hfa+h avec h0 deux points distincts de la courbe 𝒞f représentative de la fonction f.

Le coefficient directeur de la sécante (AM) à la courbe est m=f(a+h)-f(a)h. Il est égal au taux d'accroissement de la fonction f entre a  et a+h.

Quand h tend vers 0, la sécante (AM) est "proche" de la tangente à la courbe au point A.

Nombre dérivé : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Cliquer sur le bouton pour lancer l'animation et observer ce qui se passe quand h vers 0.

En admettant que la tangente à la courbe se conçoit comme "position limite" des sécantes (AM) alors, le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe est égal à la limite du taux d'accroissement fa+h-fah quand h tend vers 0, pourvu que cette limite existe.

2 - nombre dérivé

définition

Dire que la fonction f est dérivable au point a de son intervalle de définition signifie que le taux d'accroissement fa+h-fah admet une limite finie quand h tend vers zéro. Cette limite est appelée le nombre dérivé de la fonction f au point a. On le note fa :fa=limh0fa+h-fah

exemple

Reprenons l'exemple précédent de la fonction f définie sur par fx=x2-x-1.

Le taux d'accroissement de la fonction f entre 2 et 2+h calculé précédemment est f2+h-f2h=h+3.

À condition de prendre h suffisamment proche de 0, on peut rendre h+3 aussi près de 3 que l'on souhaite : f2=limh0f2+h-f2h=limh0h+3=3

3 - Tangente à une courbe

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en aa est un réel de I, et 𝒞f sa courbe représentative dans un repère du plan.

Nombre dérivé : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

La droite passant par le point Aafa de la courbe 𝒞f et de coefficient directeur fa est la tangente à la courbe 𝒞f au point d'abscisse a.

Propriété

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en aa est un réel de I, et 𝒞f sa courbe représentative dans un repère du plan.
L'équation réduite de la tangente à la courbe 𝒞f au point a d'abscisse a est : y=fa×x-a+fa

exemples

  1. Soit f la fonction définie sur par fx=x2-x-1. On note 𝒞f sa courbe représentative.
    Déterminer une équation de la tangente à la parabole 𝒞f au point d'abscisse 2.

    Tangente à la courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Le nombre dérivé calculé précédemment est f2=3 et f2=4-2-1=1. La tangente à la parabole 𝒞f au point d'abscisse 2 a pour équation :y=f2×x-2+f2soity=3×x-2+1y=3x-5

  2. Lecture graphique du nombre dérivé

    La courbe 𝒞f tracée ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction f définie sur .

    Tangentes à la courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Par lecture graphique, déterminer f0, f2 et f3.

    1. Le nombre dérivé f0 est égal au coefficient directeur de la tangente T1 à la courbe 𝒞f au point A d'abscisse 0.
      Par lecture graphique, le coefficient directeur de la droite T1 est égal à -2 donc f0=-2.


    2. La tangente T2 à la courbe 𝒞f au point B d'abscisse 2 est parallèle à l'axe des abscisses donc f2=0.


    3. Le nombre dérivé f3 est égal au coefficient directeur de la tangente T3 à la courbe 𝒞f au point C d'abscisse 3.
      La droite T3 passe par les points de coordonnées 30 et 53 donc f3=3-05-3=32.


Remarque

La courbe représentative d'une fonction f peut avoir une tangente en un point a sans que la fonction soit dérivable en a.

Fonction racine carrée : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

La courbe représentative de la fonction racine carrée est tangente à la droite d'équation x=0 en 0.
Or la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0 en effet, le taux d'accroissement de la fonction racine carrée entre 0 et h>0 est :h-0h=hh=1h

Quand h tend vers 0, le quotient 1h prend des valeurs de plus en plus grandes, on dit que limh01h=+. Ce n'est pas une limite finie donc la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.



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