cours première ES

Pourcentages

I - Part en pourcentage

L'expression « une grandeur A représente t % de E » se traduit par l'égalité $A = E \times \frac{t}{100}$ .

exemple

La production totale d'électricité en France atteint 531,3 TWh (milliard de KWh) en 2016. La production d'électricité assurée par les centrales nucléaires est de 384 TWh.

La part en pourcentage de la production d'électricité d'origine nucléaire est : $\frac{384}{531,3} \approx 0,723$ En 2016, la production d'origine nucléaire représente 72,3 % de la production d'électricité totale.

II - Évolution en pourcentage

1 - coefficient multiplicateur

Augmenter une grandeur de t % équivaut à multiplier sa valeur initiale par $1 + \frac{t}{100}$ .
Diminuer une grandeur de t % équivaut à multiplier sa valeur initiale par $1 - \frac{t}{100}$ .

$1 + \frac{t}{100}$ et $1 - \frac{t}{100}$ sont les coefficients multiplicateurs associés au pourcentage d'évolution.

démonstration

Soit $V_{0}$ la valeur initiale d'une grandeur et $V_{1}$ sa valeur finale suite à une augmentation de t % : $V_{1} = V_{0} + V_{0} \times \frac{t}{100} = V_{0} \times (1 + \frac{t}{100})$
Soit $V_{0}$ la valeur initiale d'une grandeur et $V_{1}$ sa valeur finale suite à une diminution de t % : $V_{1} = V_{0} - V_{0} \times \frac{t}{100} = V_{0} \times (1 - \frac{t}{100})$

exemples

En 2016 avec près de 8,3 TWh produits, l'électricité produite par la filière solaire a augmenté de 11,5 % par rapport à l'année précédente.
Soit $S_{0}$ la production d'électricité par la filière solaire en 2015 : $\begin{matrix} S_{0} \times (1 + \frac{11,5}{100}) = 8,3 & \Leftrightarrow & S_{0} = \frac{8,3}{1,115} \approx 7,4 \end{matrix}$ En 2015, la production solaire s'élevait à environ 7,4 TWh.
La filière éolienne a produit 20,7 TWh d'électricité au cours de l'année 2016, en recul de 1,8 % par rapport à l'année précédente.
Soit $E_{0}$ la production d'électricité par la filière éolienne en 2015 : $\begin{matrix} E_{0} \times (1 - \frac{1,8}{100}) = 20,7 & \Leftrightarrow & E_{0} = \frac{20,7}{0,982} \approx 21,1 \end{matrix}$ La production éolienne en 2015 s'élevait à environ 21,1 TWh.

remarques

Un coefficient multiplicateur n'a pas d'unité.
Si le coefficient multiplicateur est supérieur à 1, alors l'évolution est une augmentation.
Si le coefficient multiplicateur est inférieur à 1, alors l'évolution est une diminution.
Un pourcentage d'augmentation supérieur ou égal à 100 % peut s'exprimer à l'aide d'un coefficient multiplicateur.
Par exemple si une population augmente de 150 %, le coefficient multiplicateur correspondant est : $1 + \frac{150}{100} = 2,5$ .

2 - Taux d'évolution

Soit $V_{0}$ $(V_{0} \neq 0)$ la valeur initiale d'une grandeur et $V_{1}$ sa valeur finale suite à une évolution. Le taux d'évolution de cette grandeur est égal à : $\frac{V_{1} - V_{0}}{V_{0}}$ .
En pourcentage, le taux d'évolution se note t % avec $t = \frac{V_{1} - V_{0}}{V_{0}} \times 100$ .

démonstration

Soit t % le taux d'évolution positif ou négatif de $V_{0}$ à $V_{1}$ . Alors $\begin{array}{rcl} V_{1} = V_{0} \times (1 + \frac{t}{100}) & \Leftrightarrow & 1 + \frac{t}{100} = \frac{V_{1}}{V_{0}} \\ \Leftrightarrow & \frac{t}{100} = \frac{V_{1}}{V_{0}} - 1 \\ \Leftrightarrow & t = \frac{V_{1} - V_{0}}{V_{0}} \times 100 \end{array}$

remarques

Si $t > 0$ , il s'agit d'une augmentation.
Si $t < 0$ , il s'agit d'une diminution.
Le quotient $\frac{V_{1}}{V_{0}}$ est le coefficient multiplicateur correspondant au pourcentage d'évolution de t %.

exemple

La production totale d'électricité en France était de 546,8 TWh en 2015 et de 531,3 TWh en 2016.

Le taux d'évolution de 2015 à 2016 de la production totale d'électricité est : $\frac{531,3 - 546,8}{546,8} \approx - 0,028$ En 2016, la production d'électricité en France a diminué de près de 2,8 % par rapport à 2015.

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