cours première ES

Suites

I - Suites numériques

1 - Définition

Une suite réelle u est une fonction de l'ensemble des entiers naturels $ℕ$ (ou d'une partie de $ℕ$ ) dans $ℝ$ .
On note $u = {(u_{n})}_{n \in ℕ}$ ; $u_{n}$ est le terme d'indice n de la suite.

Dans la notation d'une suite, on peut préciser le rang à partir duquel la suite est définie.

Si la suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est définie pour tout entier naturel n on la note ${(u_{n})}_{n ⩾ 0}$ ou plus simplement $(u_{n})$ .
Si la suite est définie à partir d'un certain rang k on la note ${(u_{n})}_{n ⩾ k}$ le premier terme de la suite est $u_{k}$ .

2 - Modes de génération d'une suite

Une suite peut être définie :

De façon explicite en exprimant le terme général $u_{n}$ en fonction de n à l'aide d'une formule.
On peut calculer n'importe quel terme de la suite à partir de son indice n. Par exemple :
Pour tout entier naturel n, $u_{n} = \frac{n + {(- 1)}^{n}}{n + 1}$ définit la suite $(u_{n}) = {1; 0; 1; \frac{1}{2}; 1; \frac{2}{3}; 1; \frac{3}{4}; \dots}$ .
$u_{24} = \frac{24 + {(- 1)}^{24}}{24 + 1} = 1$ et $u_{41} = \frac{41 + {(- 1)}^{41}}{41 + 1} = \frac{20}{21}$
Par une formule de récurrence en exprimant un terme en fonction des termes qui le précèdent, et en donnant le(s) premier(s) terme(s).
Dans ce cas pour calculer le terme de rang n, il est nécessaire de calculer tous les termes qui le précèdent. Par exemple :
La suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 17$ et pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = {\begin{array}{ll} \frac{u_{n}}{2} & si n est pair \\ \frac{3 u_{n} + 1}{2} & si n est impair \end{array}$
Pour calculer $u_{5}$ nous devons d'abord calculer les termes $u_{1} = \frac{3 \times 17 + 1}{2} = 26$ , $u_{2} = \frac{26}{2} = 13$ , $u_{3} = \frac{3 \times 13 + 1}{2} = 20$ , $u_{4} = \frac{20}{2} = 10$ , d'où $u_{5} = \frac{10}{2} = 5$ .
Remarque $u_{6} = \frac{3 \times 5 + 1}{2} = 8$ , $u_{7} = \frac{8}{2} = 4$ , $u_{8} = \frac{4}{2} = 2$ , $u_{9} = \frac{2}{2} = 1$ , $u_{10} = \frac{3 \times 1 + 1}{2} = 2$ , on en déduit que $(u_{n}) = {17; 26; 13; 20; 10; 5; 8; 4; 2; 1; 2; 1; \dots}$ .
Par tout autre moyen, procédé aléatoire, algorithme etc. Par exemple, la suite des décimales de π : ${1; 4; 5; 9; 2; 6; 5; 3; 5; 8; 9; 7; 9; 3; 2; 3; 8; 4; 6; 2; 6; 4; 3; 3; 8; 3; 2; 7; \dots}$ .

2 - Représentation graphique

Dans le plan muni d'un repère $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥})$ , la représentation graphique d'une suite $(u_{n})$ est le nuage de points $M (n; u_{n})$ .

Cas d'une suite définie de façon explicite

exemple

Soit $(u_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel n par $u_{n} = \frac{108}{n^{2} - 8,5 n + 36}$ .

Calculons les premiers termes de la suite :

n	0	1	2	3	4	5	6	7	…
$u_{n}$	3	$\frac{72}{19}$	$\frac{108}{23}$	$\frac{72}{13}$	6	$\frac{216}{37}$	$\frac{36}{7}$	$\frac{72}{17}$	…

La représentation graphique de la suite $(u_{n})$ est l'ensemble des points $M_{0} (0; 3)$ , $M_{1} (1; \frac{72}{19})$ , $M_{2} (2; \frac{108}{23})$ etc.

Graphiquement, les termes de la suite $(u_{n})$ sont les ordonnées des points d'abscisses entières de la courbe $𝒞_{f}$ représentative de la fonction f définie sur $[0; + \infty [$ par $f (x) = \frac{108}{x^{2} - 8,5 x + 36}$ .

Cas d'une suite définie par une relation de récurrence

Dans le cas d'une suite définie par une formule de récurrence sous la forme $u_{n + 1} = f (u_{n})$ pour $u_{0}$ donné, on représente les premiers termes de la suite sur l'axe des abscisses en utilisant la courbe représentative de la fonction f définissant la relation de récurrence et la droite d'équation $y = x$ .

exemple

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0} = 15$ et pour tout entier naturel n par $u_{n + 1} = 1 + \frac{20}{u_{n}}$ .

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on trace la droite 𝒟 d'équation $y = x$ et la courbe $𝒞_{f}$ représentative de la fonction f définie pour tout réel $x \neq 0$ par $f (x) = 1 + \frac{20}{x}$ .

On place le terme initial $u_{0}$ sur l'axe des abscisses. $u_{1} = f (u_{0})$ donc $u_{1}$ est l'ordonnée du point $M_{1}$ de la courbe $𝒞_{f}$ d'abscisse $u_{0}$ .
Le point $A_{1}$ de la droite 𝒟, de même ordonnée que le point $M_{1}$ , ayant pour coordonnées $(u_{1}; u_{1})$ , on reporte la valeur de $u_{1}$ sur l'axe des abscisses à l'aide de la droite 𝒟.

On réitère le même procédé pour obtenir $u_{2}$ à partir de $u_{1}$ et successivement les termes suivants de la suite.

3 - Sens de variation d'une suite

Soit $(u_{n})$ une suite réelle.

Dire que la suite $(u_{n})$ est décroissante signifie que pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} ⩽ u_{n}$ .
Dire que la suite $(u_{n})$ est croissante signifie que pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} ⩾ u_{n}$ .
Dire que la suite $(u_{n})$ est constante (ou stationnaire) signifie que pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = u_{n}$ .

remarques

Dire que la suite $(u_{n})$ est monotone signifie que la suite est croissante ou décroissante.
Comme pour les fonctions, lorsqu'on remplace les inégalités larges par des inégalités strictes, on parle de suite strictement décroissante, strictement croissante, strictement monotone.

Étude de la monotonie d'une suite

Pour étudier le sens de variation d'une suite $(u_{n})$ on peut en général :

Comparer $u_{n + 1}$ et $u_{n}$ en étudiant le signe de la différence $u_{n + 1} - u_{n}$ .
Lorsque tous les termes de la suite $(u_{n})$ sont strictement positifs, comparer $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ et 1 : $Si u_{n} > 0 et u_{n + 1} > 0 alors, \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} > 1 \Leftrightarrow u_{n + 1} - u_{n} > 0$
Lorsque la suite $(u_{n})$ est définie explicitement en fonction de n par une expression de la forme $u_{n} = f (n)$ alors, $u_{n + 1} - u_{n} = f (u_{n + 1}) - f (n)$ . Par conséquent, si la fonction f est monotone sur l'intervalle $[0; + \infty [$ alors la suite $(u_{n})$ a le même sens de variation que la fonction f.

exemples

La suite $(u_{n})$ est définie par $u_{0} = - 1$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = {u_{n}}^{2} + u_{n} + 1$ .
Pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} - u_{n} = {u_{n}}^{2} + 1$ donc pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} - u_{n} > 0$ . La suite $(u_{n})$ est strictement croissante.
La suite $(u_{n})$ est définie pour tout entier naturel n par $u_{n} = \frac{2^{n}}{n + 1}$ .
La suite $(u_{n})$ est à termes strictement positifs et pour tout entier naturel n, $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{2^{n + 1}}{n + 2} \times \frac{n + 1}{2^{n}} = \frac{2 n + 2}{n + 2} = 1 + \frac{n}{n + 2}$
Ainsi, la suite $(u_{n})$ est à termes strictement positifs et pour tout entier naturel n, $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} ⩾ 1$ donc la suite $(u_{n})$ est croissante.
La suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $u_{n} = \frac{1}{n^{2} + n + 1}$ .
Nous avons $u_{n} = f (n)$ où f est la fonction définie sur l'intervalle $[0; + \infty [$ par $f (x) = \frac{1}{x^{2} + x + 1}$ .
La dérivée de la fonction f est la fonction $f'$ définie par $f' (x) = - \frac{2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$ .
Pour tout réel x, ${(x^{2} + x + 1)}^{2} > 0$ et $2 x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - \frac{1}{2}$ . Par conséquent, sur l'intervalle $[0; + \infty [$ on a $f' (x) < 0$ donc la fonction f est strictement décroissante.
On en déduit que la suite $(u_{n})$ est strictement décroissante.

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