cours première ES

Probabilités

I - Rappels

1 - Opérations sur les évènements

Soit Ω l'univers associé à une expérience aléatoire, A et B deux évènements.

L'évènement « A ne s'est pas réalisé » est l'évènement contraire de A noté $\bar{A}$ .
L'évènement « au moins un des évènements A ou B s'est réalisé » est l'évènement « A ou B » noté $A \cup B$ .
L'évènement « les évènements A et B se sont réalisés » est l'évènement « A et B » noté $A \cap B$ .
Deux évènements qui ne peuvent pas être réalisés en même temps sont incompatibles. On a alors $A \cap B = \emptyset$ .
Les évènements A et $\bar{A}$ sont incompatibles.

2 - Loi de probabilité

Ω désigne un univers de n éventualités ${e_{1}; e_{2}; \dots; e_{n}}$ .

Définir une loi de probabilité P sur Ω, c'est associer, à chaque évènement élémentaire $e_{i}$ un nombre réel $p (e_{i}) = p_{i}$ de l'intervalle $[0; 1]$ , tel que : $\sum_{i = 1}^{n} p (e_{i}) = p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1$
La probabilité d'un évènement A, notée $p (A)$ , est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui le constituent.

propriétés

Soit Ω un univers fini sur lequel est définie une loi de probabilité.

Pour tout évènement A, $p (\bar{A}) = 1 - p (A)$ .
Si A et B sont deux évènements $p (A \cup B) = p (A) + p (B) - p (A \cap B)$

3 - Équiprobabilité

Soit Ω un univers fini de n éventualités. Si tous les évènements élémentaires ont la même probabilité c'est à dire, si $p (e_{1}) = p (e_{2}) = \dots = p (e_{n})$ , alors l'univers est dit équiprobable.
On a alors pour tout évènement A, $p (A) = \frac{nombre des issues favorables à A}{nombre des issues possibles} = \frac{card (A)}{card (Ω)}$

Notation :
Soit E un ensemble fini, le cardinal de E noté $card (E)$ est le nombre d'éléments de l'ensemble E.

exemple

On lance deux dés équilibrés. Quel est l'évènement le plus probable A « la somme des nombres obtenus est égale à 7 » ou B « la somme des nombres obtenus est égale à 8 » ?

Si on s'intéresse à la somme des deux dés, l'univers est $Ω = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}$ mais il n'y a pas équiprobabilité car chaque évènement élémentaire n'a pas la même probabilité : $\begin{matrix} 2 = 1 + 1 & alors que & 5 = 1 + 4 ou 5 = 2 + 3 \end{matrix}$

On se place dans une situation d'équiprobabilité en représentant une issue à l'aide d'un couple $(a, b)$ où a est le résultat du premier dé et b le résultat du second dé. L'univers Ω associé à cette expérience est l'ensemble des couples formés avec les éléments de ${1; 2; 3; 4; 5; 6}$ . Les dés étant équilibrés, il y a $6^{2} = 36$ résultats équiprobables.

	1	2	3	4	5	6
1	$(1; 1)$	$(1; 2)$	$(1; 3)$	$(1; 4)$	$(1; 5)$	$(1; 6)$
2	$(2; 1)$	$(2; 2)$	$(2; 3)$	$(2; 4)$	$(2; 5)$	$(2; 6)$
3	$(3; 1)$	$(3; 2)$	$(3; 3)$	$(3; 4)$	$(3; 5)$	$(3; 6)$
4	$(4; 1)$	$(4; 2)$	$(4; 3)$	$(4; 4)$	$(4; 5)$	$(4; 6)$
5	$(5; 1)$	$(5; 2)$	$(5; 3)$	$(5; 4)$	$(5; 5)$	$(5; 6)$
6	$(6; 1)$	$(6; 2)$	$(6; 3)$	$(6; 4)$	$(6; 5)$	$(6; 6)$

L'évènement A est l'ensemble des couples dont la somme des deux termes est égale à 7. D'où $p (A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ .
L'évènement B est l'ensemble des couples dont la somme des deux termes est égale à 8. D'où $p (B) = \frac{5}{36}$ .
L'évènement le plus probable est A.

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