contrôle du 26 janvier 2008

Corrigé de l'exercice 2

Soit ABC un triangle et M le point tel que $\overrightarrow{BM}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{BC}$.

1. Montrer que $\overrightarrow{AM}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AC}$.

   $$\begin{array}{lll}\overrightarrow{AM}& =& \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\\ & =& \overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{BC}\\ & =& \overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)\\ & =& \overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{BA}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AC}\\ & =& \overrightarrow{AB}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AC}\\ & =& {\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AC}\end{array}$$

   Ainsi, $\overrightarrow{AM}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AC}$.

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2. Soit N le point tel que $\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$. Montrer que les points A, M et N sont alignés.

   $$\begin{array}{lll}\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}& \iff & \overrightarrow{AN}=3\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AC}\right)\\ & \text{Soit}& \overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{AM}\end{array}$$

   Les vecteurs $\overrightarrow{AN}$ et $\overrightarrow{AM}$ sont colinéaires donc les points A, M et N sont alignés.

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