contrôle du 26 janvier 2008

Corrigé de l'exercice 3

1. Placer les points les points E, F et G tels que $\overrightarrow{AE}={\displaystyle \frac{4}{3}}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{FD}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AG}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$

   $\overrightarrow{FD}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AD}\iff \overrightarrow{DF}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AD}$

2. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{EF}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.

   $$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{EF}& =& \overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}\\ & =& -{\displaystyle \frac{4}{3}}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}\\ & =& -{\displaystyle \frac{4}{3}}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}\\ & =& -{\displaystyle \frac{4}{3}}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AD}\\ & =& -{\displaystyle \frac{4}{3}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{4}{3}}\overrightarrow{AD}\end{array}$$

   Ainsi, $\overrightarrow{EF}=-{\displaystyle \frac{4}{3}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{4}{3}}\overrightarrow{AD}$.

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3. Les points E, F et G sont-ils alignés ?

   Exprimons le vecteur $\overrightarrow{EG}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ : $$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{EG}& =& \overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AG}\\ & =& -{\displaystyle \frac{4}{3}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\\ & =& -\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\end{array}$$

   Or $\overrightarrow{EF}=-{\displaystyle \frac{4}{3}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{4}{3}}\overrightarrow{AD}$. Soit $\overrightarrow{EF}={\displaystyle \frac{4}{3}}\left(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)$. Donc $$\overrightarrow{EF}={\displaystyle \frac{4}{3}}\overrightarrow{EG}$$

   Les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{EG}$ sont colinéaires donc les points E, F et G sont alignés.

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