contrôle du 20 mars 2008

exercice 1

Résoudre les équations et inéquations suivantes :

1. $5x^2=15$

2. $\left(x^2-4\right)=\left(x+2\right)$

3. $3x^2<-6$

4. $-2x^2>-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

5. $x^2⩽4x$

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exercice 2

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\left(2x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\left(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2$.

La courbe $C_f$ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal.

1. Factoriser $f\left(x\right)$.

2. Soit g la fonction affine définie sur $ℝ$ telle que $g\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)=0$ et $g\left(1\right)=4$. On note $C_g$ sa courbe représentative.

   1. Quelle est la nature de la courbe $C_g$ ? La tracer dans le repère précédent.

   2. Déterminer une expression de g en fonction de x.

3. Montrer que $f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(3x+1\right)\left(x-3\right)$.

4. Déterminer par le calcul les coordonnées des points d'intersection des courbes $C_f$ et $C_g$.

5. Étudier le signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$. En déduire les positions relatives des courbes $C_f$ et $C_g$.

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exercice 3

Dans le plan muni d'un repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ , on considère les points $A\left(-4;-1\right)$, $B\left(3;2\right)$ et $C\left(4;-1\right)$.

1. Les points A, B et C sont-ils alignés ?

2. Déterminer les coordonnées du point D tel que $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

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