contrôle du 30 mars 2009

Corrigé de l'exercice 2

La courbe $C_f$ représentative d'une fonction f a pour équation par $y={\displaystyle \frac{5}{x-1}}$. La courbe $C_f$ est tracée dans le plan muni d'un repère orthogonal en annexe ci-dessous.

1. 1. Quel est l'ensemble de définition de la fonction f ?

      La fonction f est définie pour tout réel x tel que $x-1\ne 0\iff x\ne 1$

      f est la fonction définie sur $\left]-\infty ;1\right[\cup \left]1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{5}{x-1}}$

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   2. Calculer l'image de 0.

      $$f\left(0\right)={\displaystyle \frac{5}{0-1}}=-5$$

      L'image de 0 est égale à − 5.

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   3. Calculer l'antécédent de 2.

      L'antécédent de 2 est le réel x solution de l'équation : $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)=2& \iff & {\displaystyle \frac{5}{x-1}}=2\\ & \iff & {\displaystyle \frac{5}{x-1}}-2=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{5-2\left(x-1\right)}{x-1}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{7-2x}{x-1}}=0\\ & \iff & 7-2x=0\\ & \iff & x={\displaystyle \frac{7}{2}}\end{array}$$

      L'antécédent de 2 est égale à 3,5.

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2. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-1\right)=0$ et $g\left(2\right)=12$

   1. Déterminer l'expression de g en fonction de x.

      g est une fonction affine alors pour tout réel x, $g\left(x\right)=ax+b$ avec : $$a={\displaystyle \frac{g\left(2\right)-g\left(-1\right)}{2-\left(-1\right)}}={\displaystyle \frac{12-0}{2+1}}=4$$

      D'où $g\left(x\right)=4\left(x+1\right)+g\left(-1\right)$. Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}g\left(x\right)=4\left(x+1\right)+0& \iff & g\left(x\right)=4x+4\end{array}$$

      Ainsi, g est la fonction définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=4x+4$

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   2. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère othogonal donné en annexe.

      La courbe représentative de la fonction affine g est la droite D d'équation $y=4x+4$. Cette droite passe par les points de coordonnées $\left(-1;0\right)$ et $\left(2;12\right)$.

3. Résoudre dans $ℝ$, l'inéquation $f\left(x\right)⩽4x+4$. Interpréter graphiquement le résultat.

   Pour tout réel $x\ne 1$, $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{5}{x-1}}⩽4x+4& \iff & {\displaystyle \frac{5}{x-1}}-\left(4x+4\right)⩽0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{5-\left(4x+4\right)\left(x-1\right)}{x-1}}⩽0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{5-\left(4x^2-4x+4x-4\right)}{x-1}}⩽0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{9-4x^2}{x-1}}⩽0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{\left(3-2x\right)\left(3+2x\right)}{x-1}}⩽0\end{array}$$

   Étudions le signe du quotient ${\displaystyle \frac{\left(3-2x\right)\left(3+2x\right)}{x-1}}$ à l'aide d'un tableau de signes :

   x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{3}{2}}$		1		${\displaystyle \frac{3}{2}}$		$+\infty$
   Signe de $3-2x$		+	$|$	+		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   Signe de $3+2x$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+		+	$|$	+
   Signe de $x-1$		−	$|$	−		+	$|$	+
   Signe de ${\displaystyle \frac{\left(3-2x\right)\left(3+2x\right)}{x-1}}$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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   L'ensemble solution de l'inéquation $f\left(x\right)⩽4x+4$ est $S=\left[-{\displaystyle \frac{3}{2}};1\right[\cup \left[{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$. Les points de la courbe $C_f$ dont l'abscisse appartient à l'ensemble S sont situés sous la droite D.

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