contrôles en seconde

contrôle du 04 mai 2009

Corrigé de l'exercice 1

Les trois questions suivantes sont indépendantes.

  1. Placer sur le cercle trigonométrique les points A, B, C et D repérés respectivement par les réels -5π6, -3π4, -π3 et 2π3 . Donner les coordonnées des quatre points.

    Points A, B, C et D : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    • -5π6=-π+π6 . Soit A le point du cercle trigonométrique repéré par -5π6 et A(cosπ6;sinπ6) le point du cercle trigonométrique repéré par π6.
      Le point A est le symétrique du point A par rapport au point O.

      Le point A a donc pour coordonnées A(cosπ6;sinπ6). Soit A(-32;-12).

    • -3π4=-π+π4 . Soit B le point du cercle trigonométrique repéré par -3π4 et B(cosπ4;sinπ4) le point du cercle trigonométrique repéré par π4.
      Le point B est le symétrique du point B par rapport au point O.

      Le point B a donc pour coordonnées B(-cosπ4;-sinπ4). Soit B(-22;-22).

    • Soit C le point du cercle trigonométrique repéré par -π3 et C(cosπ3;sinπ3) le point du cercle trigonométrique repéré par π3.
      Le point C est le symétrique du point C par rapport l'axe des abscisses .

      Le point C a donc pour coordonnées C(cosπ3;-sinπ3). Soit C(12;-32).

    • 2π3=π-π3 . Soit D le point du cercle trigonométrique repéré par 2π3 et C(cosπ3;sinπ3) le point du cercle trigonométrique repéré par π3.
      Le point D est le symétrique du point C par rapport à l'axe des ordonnées .

      Le point D a donc pour coordonnées D(-cosπ3;sinπ3). Soit D(-12;32).

  2. À l'aide du cercle trigonométrique, résoudre dans ]-π;π] les équations suivantes :

    1. cosx=22.

      resolution de l'equation : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      D'après le cours, cosπ4=22. Soit M1 le point du cercle trigonométrique d'abscisse 22 repéré par π4. Il existe un autre point du cercle trigonométrique d'abscisse 22 : le point M2 repéré par -π4 symétrique du point M1 par rapport à l'axe des abscisses.

      Sur l'intervalle ]-π;π] l'ensemble solution de l'équation cosx=22 est S={-π4;π4}


    2. 1-2sinx=0.

      resolution de l'equation : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      1-2sinx=0sinx=12 D'après le cours, sinπ6=12. Soit N1 le point du cercle trigonométrique d'ordonnée 12 repéré par π6. Il existe un autre point du cercle trigonométrique d'ordonnée 12 : le point N2 repéré par 5π6 symétrique du point N1 par rapport à l'axe des ordonnées.

      Sur l'intervalle ]-π;π] l'ensemble solution de l'équation 1-2sinx=0 est S={π6;5π6}


  3. Calculer cosx sachant que sinx=35 et x]π2;π].

    Pour tout réel x, cos2x+sin2x=1, donc cos2x+925=1cos2x=1-925=1625 Soit cosx=-45 ou cosx=45 . Or d'après l'énoncé, x]π2;π], donc cosx<0.

    cosx=-45.



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