contrôle du 04 mai 2009

Corrigé de l'exercice 2

1. Étudier la parité de la fonction f.

   $ℝ$ est symétrique par rapport à 0 et pour tout réel x , $$\begin{array}{rcl}f\left(-x\right)& =& -{\displaystyle \frac{x}{2}}-\sin \left(-x\right)\\ & =& -{\displaystyle \frac{x}{2}}+\sin x\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)=-f\left(-x\right)$. La fonction f est impaire.

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2. Calculer $f\left(-\pi \right)$ et $f\left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\right)$.

   • $f\left(-\pi \right)=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\sin \left(-\pi \right)=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

   • $f\left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\right)={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}-\sin \left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\right)=={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+1$

   Ainsi, $f\left(-\pi \right)=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ et $f\left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\right)={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+1$.

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3. Calculer $f\left(x+2\pi \right)-f\left(x\right)$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\left(x+2\pi \right)-f\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{x+2\pi }{2}}-\sin \left(x+2\pi \right)-\left({\displaystyle \frac{x}{2}}-\sin x\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{x+2\pi }{2}}-\sin x-{\displaystyle \frac{x}{2}}+\sin x\\ & =& \pi \end{array}$$

   Pour tout réel x, $f\left(x+2\pi \right)-f\left(x\right)=\pi$.

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4. Tracer dans le repère précédent, la droite d'équation $y={\displaystyle \frac{x}{2}}$.

   La droite d'équation $y={\displaystyle \frac{x}{2}}$ passe par l'origine du repère et le point de coordonnées $\left(6;3\right)$.

   1. Par lecture graphique, donner le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{2}}$ comprises dans l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$.

      La droite d'équation $y={\displaystyle \frac{x}{2}}$ coupe la courbe $C_f$ en trois points dont l'abscisse x appartient à l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$

      Graphiquement, l'équation $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{2}}$ admet trois solutions comprises dans l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$.

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   2. Résoudre dans l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$ l'équation $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{2}}$.

      $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{2}}& \iff & {\displaystyle \frac{x}{2}}-\sin x={\displaystyle \frac{x}{2}}\\ & \iff & \sin x=0\end{array}$$

      Soit $x=0+2k\pi$ ou $x=\pi +2k\pi$ où k est un entier relatif.

      L'ensemble des solutions de l'équation $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{2}}$ comprises dans l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$ est $S=\left\{-\pi ;0;\pi \right\}$.

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