contrôle du 04 mai 2009

exercice 1

Les trois questions suivantes sont indépendantes.

1. Placer sur le cercle trigonométrique les points A, B, C et D repérés respectivement par les réels $-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$, $-{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$, $-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ et ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ . Donner les coordonnées des quatre points.

2. À l'aide du cercle trigonométrique, résoudre dans $\left]-\pi ;\pi \right]$ les équations suivantes :

   1. $\cos x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$.

   2. $1-2\sin x=0$.

3. Calculer $\cos x$ sachant que $\sin x={\displaystyle \frac{3}{5}}$ et $x\in \left]{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi \right]$.

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exercice 2

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{2}}-\sin x$ dont la courbe représentative $C_f$ dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous.

1. Étudier la parité de la fonction f.

2. Calculer $f\left(-\pi \right)$ et $f\left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\right)$.

3. Calculer $f\left(x+2\pi \right)-f\left(x\right)$.

4. Tracer dans le repère précédent, la droite d'équation $y={\displaystyle \frac{x}{2}}$.

   1. Par lecture graphique, donner le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{2}}$ comprises dans l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$.

   2. Résoudre dans l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$ l'équation $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{2}}$.

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