contrôle du 10 décembre 2009

Corrigé de l'exercice 1

1. On note f  la fonction inverse :

   1. Calculer l'image par f de chacun des réels suivants : $-\mathrm{0,02}$ ; ${10}^{-3}$; ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

      • $f\left(-\mathrm{0,02}\right)={\displaystyle \frac{1}{-\mathrm{0,02}}}=-50$

      • $f\left({10}^{-3}\right)={\displaystyle \frac{1}{{10}^{-3}}}={10}^3$

      • $f\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$

   2. Déterminer les antécédents par f de chacun des réels suivants : $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$; ${10}^2$ ; 0,02 .

      • L'antécédent par f de $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ est le réel x solution de l'équation $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}& \iff & {\displaystyle \frac{1}{x}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$$Soit $x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

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      • L'antécédent par f de ${10}^2$ est le réel x solution de l'équation $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)={10}^2& \iff & {\displaystyle \frac{1}{x}}={10}^2\end{array}$$Soit $x={10}^{-2}$.

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      • L'antécédent par f de 0,02 est le réel x solution de l'équation $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=\mathrm{0,02}& \iff & {\displaystyle \frac{1}{x}}=\mathrm{0,02}\end{array}$$Soit $x=50$.

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2. Quel nombre faut-il ajouter  à 1,5 pour obtenir l'inverse de 1,5 ?

   Soit x le nombre réel cherché. Alors, x est solution de l'équation $$\begin{array}{rcl}x+\mathrm{1,5}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,5}}}& \iff & x={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,5}}}-\mathrm{1,5}\\ & \iff & x={\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}=-{\displaystyle \frac{5}{6}}\hfill \end{array}$$

   Le nombre qu'il faut ajouter  à 1,5 pour obtenir l'inverse de 1,5 est $\left(-{\displaystyle \frac{5}{6}}\right)$

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3. Lorsque $x\in \left[1;5\right]$, à quel intervalle appartient ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ ?

   Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ la fonction inverse est stictement décroissante. Donc $$\begin{array}{ccc}1⩽x⩽5& \iff & {\displaystyle \frac{1}{5}}⩽{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽1\end{array}$$

   Si $x\in \left[1;5\right]$, alors ${\displaystyle \frac{1}{x}}\in \left[{\displaystyle \frac{1}{5}};1\right]$.

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4. Une seule des quatre réponses proposées est exacte. Laquelle ? (Aucune justification n'est demandée)
   x est un nombre réel non nul, $x^2<{\displaystyle \frac{1}{x}}$ quand :

   Les courbes représentatives des fonctions carré et inverse permettent de choisir la bonne réponse.

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   réponse a :$x<0$

   réponse b :$0<x<1$

   réponse c :$x>1$

   réponse d :  jamais

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