contrôles en seconde

contrôle du 10 décembre 2009

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]-2;+[ par f(x)=5x+2 . Sa courbe représentative Cf est tracée dans le plan muni d'un repère orthogonal ci-dessous.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Résoudre graphiquement f(x)2.

    Les points de la courbe Cf dont l'abscisse est inférieure à 12 sont situés au dessus de la droite d'équation y=2

    Graphiquement, l'ensemble solution de l'inéquation f(x)2 est S=]-2;12]


  2. Soit a et b deux réels tels que -2<a<b

    1. Comparer f(a) et f(b).

      -2<a<b0<a+2<b+20<1b+2<1a+2La fonction inverse est strictement décroissante sur  ]0;+[0<5b+2<5a+2

      Si -2<a<b alors f(b)<f(a)


    2. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle ]-2;+[.

      Si -2<a<b alors f(b)<f(a) donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ]-2;+[.


  3. Soit g la fonction affine telle que g(-1,5)=4 et g(2,5)=0.

    1. Déterminer l'expression de g en fonction de x.

      g est une fonction affine alors pour tout réel x, g(x)=ax+b avec : a=g(2,5)-g(-1,5)2,5-(-1,5)=0-42,5+1,5=-1

      D'où g(x)=-(x-2,5)+g(2,5). Soit pour tout réel x, g(x)=-x+2,5

      Ainsi, g est la fonction définie sur par g(x)=-x+2,5


    2. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère orthogonal précédent.

      La courbe représentative de la fonction affine g est la droite d'équation y=-x+2,5. Cette droite passe par les points de coordonnées (-1,5;4) et (2,5;0).

      Courbes représentatives des fonctions f et g : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle ]-2;+[, f(x)-g(x)=x2-0,5xx+2.

      Pour tout réel x de l'intervalle ]-2;+[, f(x)-g(x)=5x+2-(-x+2,5)=5-(-x+2,5)(x+2)x+2=5-(-x2+2,5x-2x+5)x+2=x2-0,5xx+2

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle ]-2;+[, f(x)-g(x)=x2-0,5xx+2.


    2. Étudier le signe de f(x)-g(x). Interpréter graphiquement le résultat.

      f(x)-g(x)=x2-0,5xx+2=x(x-0,5)x+2

      Étudions le signe du quotient x(x-0,5)x+2 à l'aide d'un tableau de signes :

      x

      − 2 0 0,5 +
      Signe de x   0||+|+ 
      Signe de (x-0,5)   |0||+ 
      Signe de (x+2)   +|+|+ 
      Signe de f(x)-g(x)   +0||0||+ 

      • Sur chacun des intervalles ]-2;0] ou [0,5;+[ la courbe Cf est au dessus de la droite D.
      • Sur l'intervalle [0;0,5] la courbe Cf est au dessous de la droite D.
      • La droite D coupe la courbe Cf en deux points d'abscisses respectives 0 et 0,5.


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