contrôles en seconde

contrôle du 10 décembre 2009

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur l'intervalle -2+ par fx=5x+2 . Sa courbe représentative Cf est tracée dans le plan muni d'un repère orthogonal ci-dessous.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Résoudre graphiquement fx2.

    Les points de la courbe Cf dont l'abscisse est inférieure à 12 sont situés au dessus de la droite d'équation y=2

    Graphiquement, l'ensemble solution de l'inéquation fx2 est S=-212


  2. Soit a et b deux réels tels que -2<a<b

    1. Comparer fa et fb.

      -2<a<b0<a+2<b+20<1b+2<1a+2La fonction inverse est strictement décroissante sur  0+0<5b+2<5a+2

      Si -2<a<b alors fb<fa


    2. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle -2+.

      Si -2<a<b alors fb<fa donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle -2+.


  3. Soit g la fonction affine telle que g-1,5=4 et g2,5=0.

    1. Déterminer l'expression de g en fonction de x.

      g est une fonction affine alors pour tout réel x, gx=ax+b avec : a=g2,5-g-1,52,5--1,5=0-42,5+1,5=-1

      D'où gx=-x-2,5+g2,5. Soit pour tout réel x, gx=-x+2,5

      Ainsi, g est la fonction définie sur par gx=-x+2,5


    2. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère orthogonal précédent.

      La courbe représentative de la fonction affine g est la droite d'équation y=-x+2,5. Cette droite passe par les points de coordonnées -1,54 et 2,50.

      Courbes représentatives des fonctions f et g : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle -2+, fx-gx=x2-0,5xx+2.

      Pour tout réel x de l'intervalle -2+, fx-gx=5x+2--x+2,5=5--x+2,5x+2x+2=5--x2+2,5x-2x+5x+2=x2-0,5xx+2

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle -2+, fx-gx=x2-0,5xx+2.


    2. Étudier le signe de fx-gx. Interpréter graphiquement le résultat.

      fx-gx=x2-0,5xx+2=xx-0,5x+2

      Étudions le signe du quotient xx-0,5x+2 à l'aide d'un tableau de signes :

      x

      − 2 0 0,5 +
      Signe de x   0||+|+ 
      Signe de x-0,5   |0||+ 
      Signe de x+2   +|+|+ 
      Signe de fx-gx   +0||0||+ 

      • Sur chacun des intervalles -20 ou 0,5+ la courbe Cf est au dessus de la droite D

      • Sur l'intervalle 00,5 la courbe Cf est au dessous de la droite D

      • La droite D coupe la courbe Cf en deux points d'abscisses respectives 0 et 0,5.



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