contrôle du 19 octobre 2009

exercice 1

On considère une fonction f définie sur l'intervalle $\left[-5;5\right]$. Le tableau de variations de la fonction f est le suivant :

x	− 5		− 1		1		5
$f\left(x\right)$	5		1		2		− 1

1. Comparer $f\left(-{\displaystyle \frac{5}{3}}\right)$ et $f\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$

2. Peut-on comparer les images de 0 et de 3 ?

3. Pour chacune des propositions suivantes, justifier si elle est vraie ou fausse :

   1. Si a et b sont deux réels tels que $2⩽a<b⩽4$ alors $f\left(a\right)<f\left(b\right)$.

   2. Tous les réels de l'intervalle $\left[-5;0\right]$ ont une image supérieure ou égale à 1.

   3. Il existe un seul réel de l'intervalle $\left[-5;5\right]$ qui a une image négative.

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exercice 2

Soit f la fonction définie sur $\left[-3;4\right]$ par $f\left(x\right)=2x^2-3x$.

1. Déterminer les antécédents de 0 par la fonction  f.

2. Compléter le tableau suivant :

   x	− 3	− 2	− 1	0	1	2	3	4
   $f\left(x\right)$

3. Pourquoi peut-on affirmer que la fonction f n'est pas monotone sur $\left[-3;4\right]$ ?

4. Calculer l'image de 0,8. Le tableau permet-il de trouver le minimum de la fonction f ?

5. 1. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left[-3;4\right]$, $f\left(x\right)-f\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)=2{\left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2$

   2. En déduire l'existence d'un extremum pour la fonction f.

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exercice 3

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{9-4x^2}{x^2+1}}$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

1. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_f$ avec les axes du repère.

2. Étudier le signe de $f\left(x\right)-f\left(0\right)$. En déduire l'existence d'un extremum pour la fonction f.

3. Montrer que pour tout réel x, $f\left(x\right)>-4$. Peut on conclure que − 4 est le minimum de la fonction f ?

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