contrôle du 18 janvier 2010

exercice 1

ABCD est un parallélogramme de centre O.

1. Montrer que $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$

2. Montrer que pour tout point M, $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$

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exercice 2

1. Sur le dessin ci-dessous, placer les points M et N tels que $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$   et $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$.

2. Montrer que B est le milieu du segment $\left[AN\right]$

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exercice 3

Dans le plan muni d'un repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$, on donne les points $A\left(-1;1\right)$, $B\left(2;1\right)$ et $C\left(-2;3\right)$.

1. Déterminer les coordonnées du point M tel que $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{BC}$

2. Déterminer les coordonnées du point P tel que $\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{0}$

3. Les points B, M et P sont-ils alignés ?

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exercice 4

1. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-{\displaystyle \frac{9}{4}}\right)=-6$ et $g\left({\displaystyle \frac{9}{4}}\right)=3$.

   1. Déterminer l'expression de g en fonction de x.

   2. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère orthogonal donné en annexe.

2. Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x^2+{\displaystyle \frac{x}{2}}-6$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal. La courbe $C_f$ est tracée dans le repère orthogonal donné en annexe.

   1. Factoriser $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

   2. Étudier le signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

   3. En déduire les positions relatives des courbes $C_f$ et D.

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