contrôle du 11 mars 2010

Corrigé de l'exercice 1

1. Dans le plan muni d'un repère, on considère les points $A\left(4;2\right)$ et $B\left(-5;-1\right)$.
   Déterminer une équation de la droite (AB).

   Les points A et B n'ont pas la même abscisse donc la droite (AB) admet une équation de la forme $y=mx+p$ avec $m={\displaystyle \frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}}$. Soit $$m={\displaystyle \frac{2+1}{4+5}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$

   Comme le point $A\left(4;2\right)$ appartient à la droite (AB), on en déduit que $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{3}}\times 4+p=2& \iff & p={\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$$

   La droite (AB) a pour équation $y={\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{2}{3}}$.

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2. Tracer dans le même repère donné ci-dessous, la droite D d'équation $y=-x+4$.

   La droite D passe par les points de coordonnées $\left(0;4\right)$ et $\left(4;0\right)$.

3. Déterminer les coordonnées du point d'intersection des droites D et (AB).

   Les coordonnées du point d'intersection des droites D et (AB) sont solutions du système $$\begin{array}{rcl}\{\begin{array}{l}y=-x+4\\ y={\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}y=-x+4\\ -x+4={\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}y=-x+4\\ -{\displaystyle \frac{4}{3}}x=-{\displaystyle \frac{10}{3}}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{5}{2}}\\ y={\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}\end{array}$$

   Les droites D et (AB) sont sécantes en un point $M\left({\displaystyle \frac{5}{2}};{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$.

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