contrôles en seconde

contrôle du 08 avril 2010

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur par f(x)=x2-x2-3. Sa courbe représentative P dans un repère du plan est donnée en annexe ci-dessous.

    1. Calculer les coordonnées du point d'intersection de la parabole P avec l'axe des ordonnées.

      Le point d'intersection de la parabole P avec l'axe des ordonnées a pour coordonnées (0;f(0)). Or f(0)=-3

      Le point d'intersection de la parabole P avec l'axe des ordonnées a pour coordonnées (0;-3).


    2. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la parabole P avec l'axe des abscisses.

      Les abscisses des points d'intersection de la parabole P avec l'axe desabscisses sont les solutions de l'équation f(x)=0

      Or pour tout réel x, x2-x2-3=(x-14)2-116-3=(x-14)2-4916=(x-14-74)(x-14+74)=(x-2)(x+32)

      Par conséquent, f(x)=0(x-2)(x+32)=0. Soit x=2 ou x=-32

      La parabole P coupe l'axe des abscisses en deux points de coordonnées respectives (-32;0) et (2;0).


  1. Soit g la fonction affine telle que g(-4)=8 et g(6)=3.

    1. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère donné en annexe.

      La courbe représentative de la fonction affine g est la droite D passant par les points de coordonnées (-4;8) et (6;3).

      Courbes représentatives des fonctions f et g : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Déterminer l'expression de g en fonction de x.

      g est une fonction affine alors pour tout réel x, g(x)=ax+b avec : a=g(-4)-g(6)-4-6=8-3-10=-12

      D'où pour tout réel x, g(x)=-12×(x-6)+g(6)=-x2+3+3=-x2+6

      Ainsi, g est la fonction définie sur par g(x)=-x2+6


  2. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la parabole P avec la droite D.

    Les abscisses des points d'intersection de la parabole P avec la droite D sont les solutions de l'équation f(x)=g(x). Soit x2-x2-3=-x2+6x2-9=0(x-3)(x+3)=0

    Cette équation admet deux solutions x=-3 ou x=3. Par conséquent : f(-3)=g(-3)=--32+6=152etf(3)=g(3)=-32+6=92

    les coordonnées des deux points d'intersection de la parabole P avec la droite D sont respectivement (-3;152) et(3;92).


  3. Résoudre dans , l'inéquation f(x)-x2+6.

    Pour tout réel x, f(x)-x2+6x2-x2-3-x2+6x2-90(x-3)(x+3)0

    Étudions le signe du produit (x-3)(x+3) à l'aide d'un tableau de signes :

    x

    - − 3 3 +
    Signe de x-3 |0||+ 
    Signe de (x+3) 0||+|+ 
    Signe de (x-3)(x+3) +0||0||+ 

    L'ensemble solution de l'inéquation f(x)-x2+6 est S=[-3;3].



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