contrôle du 06 mai 2010

Corrigé de l'exercice 3

Soit f et g deux fonctions définies sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x^2+4x-4$ et $g\left(x\right)=-x^2+5x+2$.

1. Parmi les courbes tracées ci-dessous, déterminer celle qui représente la fonction f et celle qui représente la fonction g.

   • Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}{x}^2+4x-4& =& {\left(x+2\right)}^2-4-4\hfill \\ & =& {\left(x+2\right)}^2-8\hfill \end{array}$$

     La fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x^2+4x-4$ est une fonction polynôme du second degré avec $a=1$, $b=4$ et $c=-4$. Sa courbe représentative est une parabole dont le sommet S a pour coordonnées $S\left(-2;-8\right)$

     $C_1$ est la seule courbe susceptible de représenter la fonction f.

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   • Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}-x^2+5x+2& =& -\left(x^2-5x-2\right)\hfill \\ & =& -\left({\left(x-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{25}{4}}-2\right)\hfill \\ & =& -{\left(x-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{33}{4}}\hfill \end{array}$$

     La fonction g définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=-x^2+5x+2$ est une fonction polynôme du second degré avec $a=-1$, $b=5$ et $c=2$. Sa courbe représentative est une parabole dont le sommet S a pour coordonnées $S\left({\displaystyle \frac{5}{2}};{\displaystyle \frac{33}{4}}\right)$

     $C_4$ est la seule courbe susceptible de représenter la fonction g.

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2. Factoriser $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

   $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& \left(x^2+4x-4\right)-\left(-x^2+5x+2\right)\hfill \\ & =& x^2+4x-4+x^2-5x-2\hfill \\ & =& 2x^2-x-6\hfill \\ & =& 2\left(x^2-{\displaystyle \frac{x}{2}}-3\right)\hfill \\ & =& 2\times \left[{\left(x-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{1}{16}}-3\right]\hfill \\ & =& 2\times \left[{\left(x-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{49}{16}}\right]\hfill \\ & =& 2\left(x-{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{7}{4}}\right)\left(x-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{7}{4}}\right)\hfill \\ & =& 2\left(x-2\right)\left(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $f\left(x\right)-g\left(x\right)=2\left(x-2\right)\left(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$.

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3. Calculer les coordonnées des points d'intersection des courbes représentatives des fonctions f et g .

   Les abscisses des points d'intersection des deux courbes sont les solutions de l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$. Soit $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)-g\left(x\right)=0& \iff & 2\left(x-2\right)\left(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=0\hfill \\ & \iff & x-2=0\text{ ou }x+{\displaystyle \frac{3}{2}}=0\hfill \\ & \iff & x=2\text{ ou }x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\hfill \end{array}$$

   L'ensemble solution de l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ est $\left\{-{\displaystyle \frac{3}{2}};2\right\}$. D'autre part , $$\begin{array}{ccc}f\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=g\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{31}{4}}& \text{et}& f\left(2\right)=g\left(2\right)=8\end{array}$$

   Les courbes représentatives des fonctions f et g se coupent en deux points de coordonnées $\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}};-{\displaystyle \frac{31}{4}}\right)$ et $\left(2;8\right)$

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