contrôles en seconde

contrôle du 07 juin 2010

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]-32;+[ par f(x)=3-x2x+3. Sa courbe représentative 𝒞f est tracée dans le plan muni d'un repère orthogonal ci-dessous.

  1. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe 𝒞f avec les axes du repère.

    • f(0)=1. Donc la courbe Cf coupe l'axe des ordonnées au point (0;1).


    • f(x)=03-x=0 et x-32x=3

      La courbe Cf coupe l'axe des abscisses au point (3;0).


    1. Déterminer les réels a et b tels que f(x)=a+b2x+3.

      Pour tout réel x-32, a+b2x+3=2ax+3a+b2x+3

      f(x)=a+b2x+3 pour a et b solutions du système :{2a=-13a+b=3{a=-12b=92

      Ainsi, f est la fonction définie sur l'intervalle ]-32;+[ par f(x)=-12+92(2x+3).


    2. L'équation f(x)=-12 admet-elle des solutions ?

      Sur l'intervalle ]-32;+[ :f(x)=-12-12+92(2x+3)=-1292(2x+3)=0

      Or si x>-32 alors, 2x+3>0 et 92(2x+3)>0. Soit f(x)>-12.

      Sur l'intervalle ]-32;+[, l'équation f(x)=-12 n'a pas de solution.


  2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle ]-32;+[.

    • méthode 1 :

      Soient a et b deux réels de l'intervalle ]-32;+[ tels que -32<a<b : -32<a<b0<2a+3<2b+30<12b+3<12a+3la fonction inverse est strictement décroissante sur  ]0;+[0<92(2b+3)<92(2a+3)-12<-12+92(2b+3)<-12+92(2a+3)

      Ainsi, si -32<a<b alors f(b)<f(a) donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ]-32;+[.


    • méthode 2 :

      Soient a et b deux réels de l'intervalle ]-32;+[ tels que -32<a<b : f(a)-f(b)=3-a2a+3-3-b2b+3=(3-a)(2b+3)(2a+3)(2b+3)-(3-b)(2a+3)(2b+3)(2a+3)=6b+9-2ab-3a(2a+3)(2b+3)-6a+9-2ab-3b(2a+3)(2b+3)=9b-9a(2a+3)(2b+3)=9(b-a)(2a+3)(2b+3)

      Si -32<a<b alors, 2a+3>0, 2b+3>0 et b-a>0 donc f(a)-f(b)>0.

      Ainsi, si -32<a<b alors f(a)>f(b) donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ]-32;+[.


  3. Soit g la fonction affine définie sur par g(x)=2-23x.

    1. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère orthogonal précédent.

      g est une fonction affine, sa courbe représentative est la droite D passant par les points A(0;2) et B(3;0).

      Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Résoudre l'inéquation f(x)g(x).

      Pour tout réel x de l'intervalle ]-32;+[ :f(x)g(x)3-x2x+32-23x3-x2x+3-2+23x03-x2x+3-6-2x303(3-x)-(6-2x)(2x+3)3(2x+3)09-3x-12x-18+4x2+6x3(2x+3)04x2-9x-93(2x+3)0

      Or pour tout réel x de l'intervalle ]-32;+[, on a 2x+3>0. On en déduit que sur l'intervalle ]-32;+[ : f(x)g(x)4x2-9x-90[(2x-94)2-8116]-90(2x-94)2-225160(2x-94-154)(2x-94+154)0(2x-6)(2x+32)0

      Étudions le signe du produit (2x-6)(2x+32) à l'aide d'un tableau :

      x

      -32-343+
      2x-6|0||+
      2x+320||+|+
      (2x-6)(2x+32)+0||0||+

      L'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)g(x) est l'intervalle S=[-34;3].



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