Soit f la fonction définie sur l'intervalle par . Sa courbe représentative est tracée dans le plan muni d'un repère orthogonal ci-dessous.
Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe avec les axes du repère.
. Donc la courbe coupe l'axe des ordonnées au point .
La courbe coupe l'axe des abscisses au point .
Déterminer les réels a et b tels que .
Pour tout réel ,
pour a et b solutions du système :
Ainsi, f est la fonction définie sur l'intervalle par .
L'équation admet-elle des solutions ?
Sur l'intervalle :
Or si alors, et . Soit .
Sur l'intervalle , l'équation n'a pas de solution.
Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle .
méthode 1 :
Soient a et b deux réels de l'intervalle tels que :
Ainsi, si alors donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle .
méthode 2 :
Soient a et b deux réels de l'intervalle tels que :
Si alors, , et donc .
Ainsi, si alors donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle .
Soit g la fonction affine définie sur par .
Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère orthogonal précédent.
g est une fonction affine, sa courbe représentative est la droite D passant par les points et .
Résoudre l'inéquation .
Pour tout réel x de l'intervalle :
Or pour tout réel x de l'intervalle , on a . On en déduit que sur l'intervalle :
Étudions le signe du produit à l'aide d'un tableau :
x | 3 | |||||||
− | − | + | ||||||
− | + | + | ||||||
+ | − | + |
L'ensemble des solutions de l'inéquation est l'intervalle .
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