contrôles en terminale ES

contrôle du 24 novembre 2005

Corrigé de l'exercice 1

Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.
On demande de cocher cette réponse.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.
Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

On considère la série chronologique suivante :

t_i	1	2	3	4	5	6
y_i	14	18	21	25	30	33

On suppose que la forme allongée du nuage permet d'envisager un ajustement affine par la méthode des moindres carrés. On note D cette droite d'équation $y = \frac{27}{7} x + b$

1) La droite D passe par le point de coordonnées : La droite d'ajustement affine par la méthode des moindres carrés passe par le point moyen $G (3,5; 23,5)$	$(6; 33)$ $(3,5; 23,5)$ $(3,5; 23)$
2) La droite passant par les points $M_{2} (2; 18)$ et $M_{5} (5; 30)$ a pour équation $y = 4 x + 10$ alors la somme $\sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - 4 x_{i} - 10)}^{2}$ est : La droite d'ajustement affine par la méthode des moindres carrés est la droite d'équation $y = a x + b$ telle que la somme des carrés des résidues est minimale. Par conséquent $\sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - \frac{27}{7} x_{i} - b)}^{2} < \sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - 4 x_{i} - 10)}^{2}$	supérieure à $\sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - \frac{27}{7} x_{i} - b)}^{2}$ inférieure à $\sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - \frac{27}{7} x_{i} - b)}^{2}$ égale à $\sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - \frac{27}{7} x_{i} - b)}^{2}$
3) Au rang x = 14 une estimation, de $y_{14}$ est : Les coordonnées du point moyen vérifient l'équation de la droite D alors $\frac{27}{7} \times 3,5 + b = 23,5 \Leftrightarrow b = 10$ Par conséquent la droite D a pour équation $y = \frac{27}{7} x + 10$ D'où si x = 14 une estimation, de y est : $\frac{27}{7} \times 14 + 10 = 64$	$y = 70$ $y = 64$ $y = 66$
4) La covariance $C_{x y}$ de cette série est : La covariance peut être calculée à l'aide d'une des deux formules suivantes : $C_{x y} = \frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{6} (x_{i} - 3,5) (y_{i} - 23,5)$ ou $C_{x y} = (\frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i}) - 3,5 \times 23,5$	11,25 67,5 $\sqrt{67,5}$

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