contrôle du 24 novembre 2005

exercice 1

Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.
On demande de cocher cette réponse.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.
Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

On considère la série chronologique suivante :

t i	1	2	3	4	5	6
y i	14	18	21	25	30	33

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On suppose que la forme allongée du nuage permet d'envisager un ajustement affine par la méthode des moindres carrés. On note D cette droite d'équation $y={\displaystyle \frac{27}{7}}x+b$

1) La droite D passe par le point de coordonnées :	$\left(6;33\right)$ $\left(\mathrm{3,5};\mathrm{23,5}\right)$ $\left(\mathrm{3,5};23\right)$
2) La droite passant par les points $M_2\left(2;18\right)$ et $M_5\left(5;30\right)$ a pour équation $y=4x+10$ alors la somme ${\displaystyle \sum _{i=1}^6{\left(y_i-4x_i-10\right)}^2}$ est :	supérieure à ${\displaystyle \sum _{i=1}^6{\left(y_i-{\displaystyle \frac{27}{7}}{x}_i-b\right)}^2}$ inférieure à ${\displaystyle \sum _{i=1}^6{\left(y_i-{\displaystyle \frac{27}{7}}{x}_i-b\right)}^2}$ égale à ${\displaystyle \sum _{i=1}^6{\left(y_i-{\displaystyle \frac{27}{7}}{x}_i-b\right)}^2}$
3) Au rang x = 14 une estimation, de $y_{14}$ est :	$y=70$ $y=64$ $y=66$
4) La covariance $C_{xy}$ de cette série est :	11,25 67,5 $\sqrt{\mathrm{67,5}}$

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exercice 2

Dans cet exercice, aucun détail des calculs statistiques, à effectuer à la calculatrice, n'est demandé.

Le tableau suivant donne la dépense, en millions d'euros, des ménages en produits informatiques de loisirs (matériels, logiciels, réparations) de 1990 à 1998 d'un pays P :

Année	1985	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998
Rang t i de l'année	0	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Dépense y i	196	301	318	332	349	361	376	389	400	407

1. Représenter le nuage de points $M_i\left(t_i;y_i\right)$ et le point moyen dans le plan muni d'un repère orthogonal avec, pour unités graphiques : 1 cm pour un rang en abscisse, 1cm pour 50 millions d'euros en ordonnée.

2. 1. Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de y en t par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à 10^-3près). Représenter D dans le repère précédent

   2. En utilisant cet ajustement affine, donner une estimation de la dépense des ménages en produits informatiques (arrondie à un million d'euros) en 2005.

3. La forme du nuage présentant un ralentissement de la croissance permet d'envisager un ajustement à l'aide d'une parabole. On pose $x_i={\left(t_i-21\right)}^2$

   1. Recopier et compléter le tableau suivant :

      t i	0	5	6	7	8	9	10	11	12	13
      x i	441									64
      y i	196	301	318	332	349	361	376	389	400	407

   2. Représenter le nuage de points $N_i\left(x_i;y_i\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal avec, pour unités graphiques : 1 cm pour 50 en abscisse, 1cm pour 50 millions d'euros en ordonnée.

   3. Donner une équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à 10^-3près), la représenter dans le repère précédent.
      En déduire une estimation y en fonction de t.

   4. En utilisant cet ajustement, donner une nouvelle estimation de la dépense des ménages en produits informatiques (arrondie à un million d'euros) en 2005.

4. En 2005 les ménages ont dépensé 8,9 milliards d'euros pour leurs loisirs et 5% de ces dépenses concernent les produits informatiques.
   Avec lequel des deux ajustements l'estimation est-elle la meilleure ?

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