contrôles en terminale ES

contrôle du 24 novembre 2005

Corrigé de l'exercice 2

Dans cet exercice, aucun détail des calculs statistiques, à effectuer à la calculatrice, n'est demandé.

Le tableau suivant donne la dépense, en millions d'euros, des ménages en produits informatiques de loisirs (matériels, logiciels, réparations) de 1990 à 1998 d'un pays P :

Année1985199019911992199319941995199619971998
Rang t i de l'année05678910111213
Dépense y i196301318332349361376389400407

  1. Représenter le nuage de points Mi(ti;yi) et le point moyen dans le plan muni d'un repère orthogonal avec, pour unités graphiques : 1 cm pour un rang en abscisse, 1cm pour 50 millions d'euros en ordonnée.

    Le point moyen G a pour coordonnées G(t¯;y¯) avec :

    t¯=0+5+6+7+8+9+10+11+12+1310=8,1y¯=196+301+318+332+349+361+376+389+400+40710=342,9

    Les coordonnées du point moyen sont G(8,1;342,9)


  2. Ajustement affine du nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de y en t par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à 10-3près). Représenter D dans le repère précédent

      Une équation de la droite d'ajustement de y en t, par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est :

      y=16,05t+212,892. (coefficients arrondis à 10-3près)


    2. En utilisant cet ajustement affine, donner une estimation de la dépense des ménages en produits informatiques (arrondie à un million d'euros) en 2005.

      Le rang de l'année 2005 est t = 20 d'où y=16,05×20+533,892=373,392

      L' estimation de la dépense des ménages en produits informatiques en 2005 est de 534 millions d'euros.


  3. La forme du nuage présentant un ralentissement de la croissance permet d'envisager un ajustement à l'aide d'une parabole. On pose xi=(ti-21)2

    1. Recopier et compléter le tableau suivant :

      t i05678910111213
      x i4412562251961691441211008164
      y i196301318332349361376389400407
    2. Représenter le nuage de points Ni(xi;yi) dans le plan muni d'un repère orthogonal avec, pour unités graphiques : 1 cm pour 50 en abscisse, 1cm pour 50 millions d'euros en ordonnée.

    3. Ajustement affine du nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      Donner une équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à 10-3près), la représenter dans le repère précédent.
      En déduire une estimation y en fonction de t.

      Une équation de la droite d'ajustement de y en x, par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est :

      y=-0,562x+443,951. (coefficients arrondis à 10-3près)


      Or xi=(ti-21)2 d'où y=-0,562(t-21)2+443,951.


      remarque

      L'ajustement du nuage de points Mi(ti;yi) à l'aide de la parabole d'équation y=-0,562(t-21)2+443,951 est représenté ci dessous.

      Ajustement parabolique du nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    4. En utilisant cet ajustement, donner une nouvelle estimation de la dépense des ménages en produits informatiques (arrondie à un million d'euros) en 2005.

      Avec cet ajustement pour t = 20, y=-0,562×(20-21)2+443,951=443,389

      Avec cet ajustement en 2005 l' estimation de la dépense des ménages en produits informatiques est de 443 millions d'euros.


  4. En 2005 les ménages ont dépensé 8,9 milliards d'euros pour leurs loisirs et 5% de ces dépenses concernent les produits informatiques.
    Avec lequel des deux ajustements l'estimation est-elle la meilleure ?

    Le montant des dépenses en 2005 en millions d'euros est de 8900×0,05=445

    On obtient une meilleure estimation avec l'ajustement parabolique.


    remarque

    Le sommet de la parabole est atteint pour t = 21, rien ne garantit que cet ajustement soit correct après 2006.


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