Dans cet exercice, aucun détail des calculs statistiques, à effectuer à la calculatrice, n'est demandé.
Le tableau suivant donne la dépense, en millions d'euros, des ménages en produits informatiques de loisirs (matériels, logiciels, réparations) de 1990 à 1998 d'un pays P :
Année | 1985 | 1990 | 1991 | 1992 | 1993 | 1994 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 |
Rang t i de l'année | 0 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
Dépense y i | 196 | 301 | 318 | 332 | 349 | 361 | 376 | 389 | 400 | 407 |
Représenter le nuage de points et le point moyen dans le plan muni d'un repère orthogonal avec, pour unités graphiques : 1 cm pour un rang en abscisse, 1cm pour 50 millions d'euros en ordonnée.
Le point moyen G a pour coordonnées avec :
Les coordonnées du point moyen sont
Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de y en t par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à 10-3près). Représenter D dans le repère précédent
Une équation de la droite d'ajustement de y en t, par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est :
. (coefficients arrondis à 10-3près)
En utilisant cet ajustement affine, donner une estimation de la dépense des ménages en produits informatiques (arrondie à un million d'euros) en 2005.
Le rang de l'année 2005 est t = 20 d'où
L' estimation de la dépense des ménages en produits informatiques en 2005 est de 534 millions d'euros.
La forme du nuage présentant un ralentissement de la croissance permet d'envisager un ajustement à l'aide d'une parabole. On pose
Recopier et compléter le tableau suivant :
t i | 0 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
x i | 441 | 256 | 225 | 196 | 169 | 144 | 121 | 100 | 81 | 64 |
y i | 196 | 301 | 318 | 332 | 349 | 361 | 376 | 389 | 400 | 407 |
Représenter le nuage de points dans le plan muni d'un repère orthogonal avec, pour unités graphiques : 1 cm pour 50 en abscisse, 1cm pour 50 millions d'euros en ordonnée.
Donner une équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à 10-3près), la représenter dans le repère précédent.
En déduire une estimation y en fonction de t.
Une équation de la droite d'ajustement de y en x, par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est :
. (coefficients arrondis à 10-3près)
Or d'où .
L'ajustement du nuage de points à l'aide de la parabole d'équation est représenté ci dessous.
En utilisant cet ajustement, donner une nouvelle estimation de la dépense des ménages en produits informatiques (arrondie à un million d'euros) en 2005.
Avec cet ajustement pour t = 20,
Avec cet ajustement en 2005 l' estimation de la dépense des ménages en produits informatiques est de 443 millions d'euros.
En 2005 les ménages ont dépensé 8,9 milliards d'euros pour leurs loisirs et 5% de ces dépenses concernent les produits informatiques.
Avec lequel des deux ajustements l'estimation est-elle la meilleure ?
Le montant des dépenses en 2005 en millions d'euros est de
On obtient une meilleure estimation avec l'ajustement parabolique.
Le sommet de la parabole est atteint pour t = 21, rien ne garantit que cet ajustement soit correct après 2006.
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