contrôle du 9 décembre 2006

Corrigé de l'exercice 4

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant la réponse fournie.

1. Le nombre 3 est solution de l'équation $\ln \left(x-3\right)=0$.

   Pour tout réel $x>3$, $\ln \left(x-3\right)=0$ équivaut à $\ln \left(x-3\right)=\ln 1$

   Soit $x-3=1$ d'où $x=4$.

   4 est la solution de l'équation $\ln \left(x-3\right)=0$ . Donc l'affirmation 1 est fausse.

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2. Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;1\right[$, $2\ln x-\ln \left(1-x\right)=\ln {\displaystyle \frac{2x}{1-x}}$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;1\right[$, $2\ln x-\ln \left(1-x\right)=\ln {\displaystyle \frac{x^2}{1-x}}$. Donc l'affirmation 2 est fausse.

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3. La primitive de la fonction $f:x\to {\displaystyle \frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}}$ sur $\left]-\infty ;1\right[$, qui prend la valeur 0 en 0, est donnée par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{x-1}}$.

   Deux méthodes :

   1. Vérifions que la fonction F convient :

      Dire que F est une primitive de f sur $\left]-\infty ;1\right[$ signifie que pour tout réel x de l'intervalle $\left]-\infty ;1\right[$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

      F est de la forme ${\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $u\left(x\right)=x$ et $v\left(x\right)=x-1$.

      Sa dérivée $F\prime$ est de la forme $F\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ ( $u\prime \left(x\right)=1$ et $v\prime \left(x\right)=1$ ). D'où :$$\begin{array}{lll}F\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(x-1\right)-x}{{\left(x-1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}}\end{array}$$

      D'autre part, $F\left(0\right)={\displaystyle \frac{0}{0-1}}=0$

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left]-\infty ;1\right[$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ et $F\left(0\right)=0$ donc

      La primitive de la fonction f sur $\left]-\infty ;1\right[$, qui prend la valeur 0 en 0 est la fonction F. L'affirmation 3 est vraie.

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   2. Calculons la primitive de la fonction f qui prend la valeur 0 en 0 :

      Pour tout réel x posons $u\left(x\right)=x-1$ d'où $u\prime \left(x\right)=1$.

      f est de la forme $-{\displaystyle \frac{u\prime }{u^2}}$ alors, les primitives de f sont les fonctions F de la forme $F={\displaystyle \frac{1}{u}}+c$ où c est une constante réelle quelconque.

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left]-\infty ;1\right[$, $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x-1}}+c$

      Dire que $F\left(0\right)=0$ revient à : $$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{1}{0-1}}+c=0& \iff & -1+c=0\\ & \iff & c=1\end{array}$$

      Ainsi, la primitive de la fonction f qui prend la valeur 0 en 0 est définie sur $\left]-\infty ;1\right[$ par :$$\begin{array}{lll}F\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{1}{x-1}}+1\\ & =& {\displaystyle \frac{x}{x-1}}\end{array}$$

      La primitive de la fonction f sur $\left]-\infty ;1\right[$, qui prend la valeur 0 en 0, est donnée par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{x-1}}$. L'affirmation 3 est vraie.

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