contrôle du 9 décembre 2006

Corrigé de l'exercice 6

Soit l'équation $\left(E\right):{\displaystyle \frac{1}{x}}=x-2$ où l'inconnue est un réel de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

1. Un élève a représenté sur sa calculatrice l'hyperbole d'équation $y={\displaystyle \frac{1}{x}}$ et la droite d'équation $y=x-2$

   Au vu du graphique ci-dessus obtenu à l'écran de sa calculatrice, combien l'équation (E) semble-t-elle admettre de solutions sur $\left]0;+\infty \right[$ ?

   La droite coupe l'hyperbole en deux points d'abscisses respectives $a>0$ et $b<0$. Donc

   Sur $\left]0;+\infty \right[$ , l'équation (E) semble n'admettre qu'une seule solution.

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2. Un second élève considère la fonction g définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=x-2-{\displaystyle \frac{1}{x}}$.

   1. Déterminer les limites de g aux bornes de l'ensemble de définition.

      $\underset{x\to 0}{\lim }x-2=-2$ et $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}=+\infty$ alors, par différence $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g\left(x\right)=-\infty$

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      $\underset{x\to +\infty }{\lim }x-2=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}=0$ alors, par somme $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=+\infty$

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   2. On note $g\prime$ la fonction dérivée de g. Calculer $g\prime \left(x\right)$. Montrer que g est strictement croissante sur $\left]0;+\infty \right[$.

      D'après les formules donnant les dérivées des fonctions usuelles : $g\prime \left(x\right)=1+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$

      Pour tout réel $x\ne 0$, ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}>0$ d'où $1+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}>1$.

      Ainsi, sur $\left]0;+\infty \right[$, $g\prime \left(x\right)>0$ donc g est une fonction strictement croissante sur cet intervalle.

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   3. En déduire le nombre de solutions de l'équation (E) et en donner, à l'aide de la calculatrice, un encadrement d'amplitude 10⁻².

      Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, la fonction g est strictement croissante à valeurs dans $ℝ$. Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation $g\left(x\right)=0$ admet une solution unique $\alpha >0$.

      Or $g\left(x\right)=0\iff x-2={\displaystyle \frac{1}{x}}$ . Donc α est l'unique solution de l'équation (E) dans l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

      À l'aide de la calculatrice on obtient des encadrements successifs de α : $$\begin{array}{lllll}2& ⩽& \alpha & ⩽& 3\\ \mathrm{2,4}& ⩽& \alpha & ⩽& \mathrm{2,5}\\ \mathrm{2,41}& ⩽& \alpha & ⩽& \mathrm{2,42}\end{array}$$

      Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, l'équation (E) admet une seule solution α telle que $\mathrm{2,41}⩽\alpha ⩽\mathrm{2,42}$.

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3. Un troisième élève dit : « Je peux résoudre l'équation (E) algébriquement ».
   Justifier, en résolvant l'équation (E), que ce troisième élève a raison.

   $$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{1}{x}}=x-2& \iff & x-2-{\displaystyle \frac{1}{x}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{x^2-2x-1}{x}}=0\end{array}$$

   Les solutions de l'équation (E) sont donc les réels strictement positifs, solutions de l'équation $x^2-2x-1=0$.

   $\mathrm{\Delta }={\left(-2\right)}^2-4\times 1\times \left(-1\right)=8$

   L'équation $x^2-2x-1=0$ admet deux solutions $$\begin{array}{lll}{x}_1={\displaystyle \frac{2-2\sqrt{2}}{2}}=1-\sqrt{2}& \text{ et }& x_2={\displaystyle \frac{2+2\sqrt{2}}{2}}=1+\sqrt{2}\end{array}$$

   Or la seule solution srictement positive est $1+\sqrt{2}$.

   Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ , l'équation (E) admet une seule solution le réel $1+\sqrt{2}$.

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