bac blanc du 15 février 2007

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

1. On prélève un article au hasard, et on note :

   • A l'événement « la pièce provient de l'unité A »
   • B l'événement « la pièce provient de l'unité B »
   • D l'événement « la pièce présente un défaut », $\overline{D}$ l'événement contraire.

   1. Recopier et compléter l'arbre suivant :

      • 8% des pièces provenant de l'unité B présentent un défaut de fabrication d'où $p_B\left(D\right)=\mathrm{0,08}$.

      • $p\left(B\right)=1-p\left(A\right)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}$.

      • D'après la règle des nœuds :$$\begin{array}{lllllll}{p}_A\left(\overline{D}\right)& =& p_A\left(D\right)& \text{et}& p_B\left(\overline{D}\right)& =& 1-p_B\left(D\right)\\ & =& 1-\mathrm{0,03}=\mathrm{0,97}& & & =& 1-\mathrm{0,08}=\mathrm{0,92}\end{array}$$

      Nous pouvons compléter l'arbre :

   2. Calculer la probabilité qu'un article présente un défaut et provienne de l'unité A.

      La probabilité qu'un article présente un défaut et provienne de l'unité A est :$$\begin{array}{lll}p\left(D\cap A\right)& =& p_A\left(D\right)\times p\left(A\right)\\ & =& \mathrm{0,03}\times \mathrm{0,6}\\ & =& \mathrm{0,018}\end{array}$$

      La probabilité qu'un article présente un défaut et provienne de l'unité A est $p\left(D\cap A\right)=\mathrm{0,018}$

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   3. Montrer que la probabilité qu'un article présente un défaut est égale à 0 ,05.

      Les articles proviennent soit de l'unité A soit de l'unité B. D'après la formule des probabilités totales :${\mathrm{A}}_1,{\mathrm{A}}_2,\cdots ,{\mathrm{A}}_n$ forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(\mathrm{B}\right)=p\left(\mathrm{B}\cap {\mathrm{A}}_1\right)+p\left(\mathrm{B}\cap {\mathrm{A}}_2\right)+\cdots +p\left(\mathrm{B}\cap {\mathrm{A}}_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(\mathrm{B}\right)=p\left(\mathrm{B}\cap \mathrm{A}\right)+p\left(\mathrm{B}\cap \overline{\mathrm{A}}\right)$$$$p\left(D\right)=p\left(D\cap A\right)+p\left(D\cap B\right)$$

      Or la probabilité qu'un article présente un défaut et provienne de l'unité A est :$$\begin{array}{lll}p\left(D\cap B\right)& =& p_B\left(D\right)\times p\left(B\right)\\ & =& \mathrm{0,08}\times \mathrm{0,4}\\ & =& \mathrm{0,032}\end{array}$$

      D'où $$\begin{array}{lll}p\left(D\right)& =& p\left(D\cap A\right)+p\left(D\cap B\right)\\ & =& \mathrm{0,018}+\mathrm{0,032}\\ & =& \mathrm{0,05}\end{array}$$

      Ainsi, la probabilité qu'un article présente un défaut est $p\left(D\right)=\mathrm{0,05}$.

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2. L'entreprise envisage de mettre en place un test de contrôle de ces articles avant leur mise en vente. Ce contrôle détecte et élimine 82% des articles défectueux, mais il élimine également à tort 4% des articles non défectueux. Les articles non éliminés sont alors mis en vente.
   On prend au hasard un article fabriqué et on note V l'évènement « l'article est mis en vente».

   1. Calculer $p\left(V\cap D\right)$ et $p\left(V\cap \overline{D}\right)$. En déduire que la probabilité qu'un article fabriqué soit mis en vente après contrôle est 0,921.

      Ce contrôle détecte et élimine 82% des articles défectueux, alors 18% des articles défectueux sont mis en vente d'où $p_D\left(V\right)=\mathrm{0,18}$.

      Par conséquent, $$\begin{array}{lll}p\left(V\cap D\right)& =& p_D\left(V\right)\times p\left(D\right)\\ & =& \mathrm{0,18}\times \mathrm{0,05}\\ & =& \mathrm{0,009}\end{array}$$

      $p\left(V\cap D\right)=\mathrm{0,009}$

      ---

      Ce contrôle élimine à tort 4% des articles non défectueux alors 96% des articles non défectueux sont mis en vente d'où $p_{\overline{D}}\left(V\right)=\mathrm{0,96}$.

      D'autre part, $p\left(\overline{D}\right)=1-p\left(D\right)=\mathrm{0,95}$. Par conséquent, $$\begin{array}{lll}p\left(V\cap \overline{D}\right)& =& p_{\overline{D}}\left(V\right)\times p\left(\overline{D}\right)\\ & =& \mathrm{0,96}\times \mathrm{0,95}\\ & =& \mathrm{0,912}\end{array}$$

      $p\left(V\cap \overline{D}\right)=\mathrm{0,912}$

      ---

      Les évènements D et V sont relatifs à la même épreuve alors, d'après la formule des probabilités totales : $$\begin{array}{lll}p\left(V\right)& =& p\left(V\cap D\right)+p\left(V\cap \overline{D}\right)\\ & =& \mathrm{0,009}+\mathrm{0,912}\\ & =& \mathrm{0,921}\end{array}$$

      $p\left(V\right)=\mathrm{0,921}$.

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   2. L'entreprise souhaite qu'il y ait moins de 1% des articles vendus défectueux. Ce contrôle permet-il d'atteindre cet objectif ?

      La probabilité qu'un article vendu présente un défaut est :$$\begin{array}{lll}{p}_V\left(D\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(V\cap D\right)}{p\left(V\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,009}}{\mathrm{0,921}}}\\ & \approx & \mathrm{0,00977}\end{array}$$

      Donc la probabilité qu'un article vendu présente un défaut $p_V\left(D\right)<\mathrm{0,01}$

      Ce contrôle permet d'atteindre l'objectif fixé.

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