contrôles en terminale ES

bac blanc du 15 février 2007

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

Soit f la fonction définie sur ]-1;+[ par f(x)=x-1x+1.

  1. Déterminer la limite de f en +.

    limx+x-1x+1=limx+xx=1. Donc limx+f(x)=1.


  2. On note f la dérivée de la fonction f. Calculer f(x).

    Sur l'intervalle ]-1;+[, la fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. f=uv d'où f=uv-uvv2

    Avec u et v fonctions définies sur l'intervalle ]-1;+[ par : u(x)=x-1 d'oùu(x)=1etv(x)=x+1 d'oùv(x)=1

    Donc sur l'intervalle ]-1;+[, f(x)=1×(x+1)-1×(x-1)(x+1)2=x+1-x+1(x+1)2=2(x+1)2

    Ainsi, f est la fonction définie sur ]-1;+[ par f(x)=2(x+1)2.


  3. Étudier le signe de f sur l'intervalle ]-1;+[.

    Étudions le signe de f à l'aide d'un tableau de signes

    x-1 1 +
    x-1 0||+ 
    x+1 +|+ 
     Signe de f  0||+ 

    Ainsi f(x)<0 sur ]-1;1[, f(1)=0 et f(x)>0 sur ]1;+[.


partie b

Soit g la fonction définie par g(x)=ln[f(x)] et Cg sa représentation graphique.

  1. Déterminer l'intervalle I de définition de g.

    La fonction ln est définie sur ]0;+[ par conséquent, la fonction g, composée de la fonction f suivie de la fonction ln, est définie sur tout intervalle où la fonction f  est strictement positive. D'après la dernière question de la partie A :

    la fonction g est définie sur l'intervalle ]1;+[ par g(x)=lnx-1x+1.


  2. Déterminer les limites de g en + et en 1.
    En déduire les asymptotes à la courbe Cg en précisant une équation pour chacune d'elles.

    Étudions les limites de la fonction g aux bornes de son intervalle de définition, à l'aide du théorème sur les limites des fonctions composées :u , v et f sont trois fonctions telles que f=uv. α  , m et l désignent des nombres réels ou + ou - ∞
    Si limxαu(x)=m et  limXmv(X)=l alors  limxαf(x)=l.

    limx+f(x)=1 et limX1ln(X)=0 alors, limx+ln(f(x))=0.

    limx+g(x)=0 alors, la droite d'équation y=0 est asymptote à la courbe Cg en +.


    limx1+f(x)=0 et limX0ln(X)=- alors, limx1ln(f(x))=-.

    limx1g(x)=- alors, la droite d'équation x=1 est asymptote à la courbe Cg.


  3. Exprimer g(x). En déduire le tableau de variations de g.

    g est la composée de la fonction f suivie de la fonction ln, d'après le théorème sur la dérivée de ln u :Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
    La fonction ln u est dérivable sur I et sa dérivée est (lnu)=uu.

    Pour tout réel x de l'intervalle ]1;+[, g(x)=f(x)f(x) . D'où : g(x)=2(x+1)2×x+1x-1=2(x+1)(x-1)

    Ainsi, g est la fonction définie sur ]1;+[ par g(x)=2(x+1)(x-1).


    Sur l'intervalle ]1;+[, x-1>0 et x+1>0. Par conséquent, g(x)>0 donc la fonction g est strictement croissante sur ]1;+[.

    Tableau de variation de la fonction g

    x 1  +
    Signe de g  + 
     Variations de g  -fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.0

  4. Donner une équation de la tangente à la courbe Cg au point d'abscisse 2.

    Une équation de la tangente à à la courbe Cg au point d'abscisse 2 est :y=g(2)×(x-2)+g(2)

    Or g(2)=2(2+1)(2-1)=23etg(2)=ln2-12+1=ln13=-ln3

    Donc la tangente à la courbe Cg au point d'abscisse 2 a pour équation : y=23×(x-2)-ln3=23x-43-ln3

    La tangente à la courbe Cg au point d'abscisse 2 a pour équation y=2x3-43-ln3.


  5. Ci-dessous, la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal a été tracée. Tracer la courbe Cg dans le même repère.

    Courbes représentatives des fonctions f et g : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

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