bac blanc du 15 février 2007

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

Soit f la fonction définie sur $\left]-1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}$.

1. Déterminer la limite de f en $+\infty$.

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x}{x}}=1$. Donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$.

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2. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   Sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$, la fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $$\begin{array}{ccc}f={\displaystyle \frac{u}{v}}& \text{d'où}& f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}\end{array}$$

   Avec u et v fonctions définies sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$ par : $$\begin{array}{llll}& u\left(x\right)=x-1& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=1\\ \text{et}& v\left(x\right)=x+1& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=1\end{array}$$

   Donc sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{1\times \left(x+1\right)-1\times \left(x-1\right)}{{\left(x+1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x+1-x+1}{{\left(x+1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $\left]-1;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}}$.

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3. Étudier le signe de f sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$.

   Étudions le signe de f à l'aide d'un tableau de signes

   x	$-1$		1		$+\infty$
   $x-1$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $x+1$		+	$|$	+
   Signe de f		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   Ainsi $f\left(x\right)<0$ sur $\left]-1;1\right[$, $f\left(1\right)=0$ et $f\left(x\right)>0$ sur $\left]1;+\infty \right[$.

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partie b

Soit g la fonction définie par $g\left(x\right)=\ln \left[f\left(x\right)\right]$ et $C_g$ sa représentation graphique.

1. Déterminer l'intervalle I de définition de g.

   La fonction ln est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par conséquent, la fonction g, composée de la fonction f suivie de la fonction ln, est définie sur tout intervalle où la fonction f  est strictement positive. D'après la dernière question de la partie A :

   la fonction g est définie sur l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=\ln {\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}$.

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2. Déterminer les limites de g en $+\infty$ et en 1.
   En déduire les asymptotes à la courbe $C_g$ en précisant une équation pour chacune d'elles.

   Étudions les limites de la fonction g aux bornes de son intervalle de définition, à l'aide du théorème sur les limites des fonctions composées :u , v et f sont trois fonctions telles que $f=u\circ v$. α  , m et l désignent des nombres réels ou $+\infty$ ou - ∞
   Si $\underset{x\to \alpha }{lim}u\left(x\right)=m$ et  $\underset{X\to m}{lim}v\left(X\right)=l$ alors  $\underset{x\to \alpha }{lim}f\left(x\right)=l$.

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$ et $\underset{X\to 1}{\lim }\ln \left(X\right)=0$ alors, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left(f\left(x\right)\right)=0$.

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$ alors, la droite d'équation $y=0$ est asymptote à la courbe $C_g$ en $+\infty$.

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   $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=0$ et $\underset{X\to 0}{\lim }\ln \left(X\right)=-\infty$ alors, $\underset{x\to 1}{\lim }\ln \left(f\left(x\right)\right)=-\infty$.

   $\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)=-\infty$ alors, la droite d'équation $x=1$ est asymptote à la courbe $C_g$.

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3. Exprimer $g\prime \left(x\right)$. En déduire le tableau de variations de g.

   g est la composée de la fonction f suivie de la fonction ln, d'après le théorème sur la dérivée de ln u :Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
   La fonction ln u est dérivable sur I et sa dérivée est $\left(\ln u\right)\prime ={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$, $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{f\prime \left(x\right)}{f\left(x\right)}}$ . D'où : $$\begin{array}{lll}g\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}}\times {\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}}\end{array}$$

   Ainsi, $g\prime$ est la fonction définie sur $\left]1;+\infty \right[$ par $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}}$.

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   Sur l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$, $x-1>0\text{ et }x+1>0$. Par conséquent, $g\prime \left(x\right)>0$ donc la fonction g est strictement croissante sur $\left]1;+\infty \right[$.

   Tableau de variation de la fonction g

   x	1			$+\infty$
   Signe de g′			+
   Variations de g		$-\infty$		0

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4. Donner une équation de la tangente à la courbe $C_g$ au point d'abscisse 2.

   Une équation de la tangente à à la courbe $C_g$ au point d'abscisse 2 est :$$\begin{array}{lll}y& =& g\prime \left(2\right)\times \left(x-2\right)+g\left(2\right)\end{array}$$

   Or $$\begin{array}{lll}g\prime \left(2\right)={\displaystyle \frac{2}{\left(2+1\right)\left(2-1\right)}}={\displaystyle \frac{2}{3}}& \text{et}& g\left(2\right)=\ln {\displaystyle \frac{2-1}{2+1}}=\ln {\displaystyle \frac{1}{3}}=-\ln 3\end{array}$$

   Donc la tangente à la courbe $C_g$ au point d'abscisse 2 a pour équation : $$\begin{array}{lll}y& =& {\displaystyle \frac{2}{3}}\times \left(x-2\right)-\ln 3\\ & =& {\displaystyle \frac{2}{3}}x-{\displaystyle \frac{4}{3}}-\ln 3\end{array}$$

   La tangente à la courbe $C_g$ au point d'abscisse 2 a pour équation $y={\displaystyle \frac{2x}{3}}-{\displaystyle \frac{4}{3}}-\ln 3$.

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5. Ci-dessous, la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal a été tracée. Tracer la courbe $C_g$ dans le même repère.

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