Soit f la fonction définie sur par .
Déterminer la limite de f en .
. Donc .
On note la dérivée de la fonction f. Calculer .
Sur l'intervalle , la fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables.
Avec u et v fonctions définies sur l'intervalle par :
Donc sur l'intervalle ,
Ainsi, est la fonction définie sur par .
Étudier le signe de f sur l'intervalle .
Étudions le signe de f à l'aide d'un tableau de signes
x | 1 | ||||
− | + | ||||
+ | + | ||||
Signe de f | − | + |
Ainsi sur , et sur .
Soit g la fonction définie par et sa représentation graphique.
Déterminer l'intervalle I de définition de g.
La fonction ln est définie sur par conséquent, la fonction g, composée de la fonction f suivie de la fonction ln, est définie sur tout intervalle où la fonction f est strictement positive. D'après la dernière question de la partie A :
la fonction g est définie sur l'intervalle par .
Déterminer les limites de g en et en 1.
En déduire les asymptotes à la courbe en précisant une équation pour chacune d'elles.
Étudions les limites de la fonction g aux bornes de son intervalle de définition, à l'aide du théorème sur les limites des fonctions composées :u , v et f sont trois fonctions telles que . α , m et l désignent des nombres réels ou ou - ∞
Si et alors .
et alors, .
alors, la droite d'équation est asymptote à la courbe en .
et alors, .
alors, la droite d'équation est asymptote à la courbe .
Exprimer . En déduire le tableau de variations de g.
g est la composée de la fonction f suivie de la fonction ln, d'après le théorème sur la dérivée de ln u :Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
La fonction ln u est dérivable sur I et sa dérivée est .
Pour tout réel x de l'intervalle , . D'où :
Ainsi, est la fonction définie sur par .
Sur l'intervalle , . Par conséquent, donc la fonction g est strictement croissante sur .
Tableau de variation de la fonction g
x | 1 | |||
Signe de g′ | + | |||
Variations de g | 0 |
Donner une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2.
Une équation de la tangente à à la courbe au point d'abscisse 2 est :
Or
Donc la tangente à la courbe au point d'abscisse 2 a pour équation :
La tangente à la courbe au point d'abscisse 2 a pour équation .
Ci-dessous, la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal a été tracée. Tracer la courbe dans le même repère.
Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.