bac blanc du 15 février 2007

Corrigé de l'exercice 3 : Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une entreprise réalise une campagne publicitaire dans les journaux et par affichage. Les profits exprimés en milliers d'euros générés par cette campagne sont estimés par la fonction suivante :$$P\left(x;y\right)=-\mathrm{0,001}{x}^2-\mathrm{0,001}{y}^2+\mathrm{0,5}x+y+400$$ où x est le montant investi dans la publicité dans les journaux (en milliers d'euros) et y est le montant investi dans la publicité par affichage (en milliers d'euros).
Le  budget alloué à la publicité est de 500 000 €.

1. En considérant que le budget est totalement dépensé, calculer le montant du profit dans le cas où le montant investi dans la publicité dans les journaux  est de 100 milliers d'euros.

   Le montant investi dans la publicité dans les journaux  est de 100 milliers d'euros alors le montant investi dans l'affichage est de 400 milliers d'euros. D'où un profit de $$P\left(100;400\right)=-\mathrm{0,001}\times {100}^2-\mathrm{0,001}\times {400}^2+\mathrm{0,5}\times 100+400+400=680$$

   Le montant du profit dans le cas où le montant investi dans la publicité dans les journaux  est de 100 milliers d'euros est de 680 000 €.

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2. Sous la contrainte de budget $x+y=500$

   1. Montrer que le montant (exprimé en milliers d'euros)  du profit en fonction de x est donné par $$f\left(x\right)=-\mathrm{0,002}{x}^2+\mathrm{0,5}x+650$$

      $x+y=500\iff y=500-x$ . D'où l'expression du profit en fonction de x$$\begin{array}{lll}f\left(x\right)& =& -\mathrm{0,001}{x}^2-\mathrm{0,001}{\left(500-x\right)}^2+\mathrm{0,5}x+\left(500-x\right)+400\\ & =& -\mathrm{0,001}{x}^2-\mathrm{0,001}{x}^2+x-250+\mathrm{0,5}x+500-x+400\\ & =& -\mathrm{0,002}{x}^2+\mathrm{0,5}x+650\end{array}$$

      Le montant du profit en fonction de x est donné par $f\left(x\right)=-\mathrm{0,002}{x}^2+\mathrm{0,5}x+650$.

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   2. Étudier les variations de la fonction f. En déduire le montant investi dans la publicité dans les journaux qui assure un profit maximum.

      f est une fonction trinôme du second degré restreinte à l'intervalle $\left[0;500\right]$. Le coefficient de $x^2$ est négatif alors f admet un maximum atteint pour $$x=-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{-\mathrm{0,002}\times 2}}=125$$

      f est croissante sur l'intervalle $\left[0;125\right]$ et décroissante sur l'intervalle $\left[0;125\right]$.

      Le montant investi dans la publicité dans les journaux qui assure un profit maximum est de 125 000 €.

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   3. Donner la répartition du budget permettant de maximiser les profits et déterminer le montant du profit maximal.

      Sous la contrainte du budget si 125 000 € sont investis dans les journaux alors le montant investi dans l'affichage est de 375 000 € $\left(500-125=375\right)$

      $P\left(125;375\right)=-\mathrm{0,001}\times {125}^2-\mathrm{0,001}\times {375}^2+\mathrm{0,5}\times 125+375+400=\mathrm{681,25}$

      ou bien $f\left(125\right)=-\mathrm{0,002}\times {125}^2+\mathrm{0,5}\times 125+650=\mathrm{681,25}$

      Avec un budget de 500 00 €, pour obtenir un profit maximum de 681 250 €, il faut investir 125 000 € dans les journaux et 375 000 € dans l'affichage.

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3. Le patron de l'entreprise étudie la rentabilité d'une augmentation du budget.
   Avec une augmentation du budget de 1 000 € :

   1. Donner la répartition du budget permettant de maximiser les profits et déterminer le montant du profit maximal.

      Avec une augmentation de 1 000 € la contrainte budgétaire est $x+y=501$. Avec cette contrainte, le montant (exprimé en milliers d'euros) du profit en fonction de x est donné par $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)& =& -\mathrm{0,001}{x}^2-\mathrm{0,001}{\left(501-x\right)}^2+\mathrm{0,5}x+\left(501-x\right)+400\\ & =& -\mathrm{0,001}{x}^2-\mathrm{0,001}{x}^2+\mathrm{1,002}x-\mathrm{251,001}+\mathrm{0,5}x+501-x+400\\ & =& -\mathrm{0,002}{x}^2+\mathrm{0,502}x+\mathrm{649,999}\end{array}$$

      Le profit maximum est réalisé pour : $$x=-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,502}}{-\mathrm{0,002}\times 2}}=\mathrm{125,5}$$

      Son montant en milliers d'euros sera de : $$f\left(\mathrm{125,5}\right)=-\mathrm{0,002}\times {\mathrm{125,5}}^2+\mathrm{0,502}\times \mathrm{125,5}+\mathrm{649,999}=\mathrm{681,4995}$$

      Avec un budget de 501 000 €, le profit maximum est de 681 500 € (arrondi à l'euro près), avec une répartition de 125 500 € dans les journaux et 375 500 € dans l'affichage.

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   2. Conclure.

      Nous constatons qu'une augmentation du budget de 1 000 € génère une augmentation du profit de $$\mathrm{681\; 500}-\mathrm{681\; 250}=250$$

      Si les dépenses en publicité augmentent de 1 000 €, les profits n'augmenteront que de 250 €. Ce n'est donc pas rentable.

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