contrôles en terminale ES

contrôle du 24 novembre 2007

Corrigé de l'exercice 1

Soit f la fonction définie sur 12+ par : fx=-2x2+9x-64x-2. On note 𝒞f sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

  1. Déterminez les réels a,b et c tels que f(x)=ax+b+c4x-2.

    Pour tout réel x12, ax+b+c4x-2=ax+b4x-2+c4x-2=4ax2+4bx-2ax-2b+c4x-2=4ax2+4b-2ax-2b+c4x-2

    Par indentification à fx=2x2+9x-64x-2 , a,b et c sont solutions du système : {4a=-24b-2a=9-2b+c=-6{a=-12b=2c=-2

    Ainsi, sur 12+, f(x)=-x2+2-24x-2.


  2. Déterminer, limx12+fx, qu'en déduit-on pour la courbe 𝒞f ?

    limx12+-2x2+9x-6=-2 et limx12+4x-2=0+ alors par quotient, limx12+-2x2+9x-64x-2=-.

    Ainsi, limx12+fx=- donc la courbe 𝒞f admet pour asymptote verticale la droite d'équation x=12.


    1. Déterminer, limx+f(x).

      limx+-2x2+9x-64x-2=limx+-2x24x=limx+-x2=- donc limx+f(x)=-.


    2. Montrer que la courbe 𝒞f admet pour asymptote la droite d'équation y=2-x2.

      Sur l'intervalle 12+, f(x)=-x2+2-24x-2 donc fx-2-x2=-24x-2 d'autre part, limx+-24x-2=0

      Ainsi, limx+fx-2-x2=0 donc la courbe 𝒞f admet pour asymptote la droite d'équation y=2-x2 au voisinage de +


  3. Calculer la dérivée de la fonction f.

    Sur l'intervalle 12+, la fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. f=uv d'où f=uv-uvv2

    Avec u et v fonctions définies sur l'intervalle 12+ par : ux=-2x2+9x-6 d'oùux=-4x+9etvx=4x-2 d'oùvx=4

    Donc sur l'intervalle 12+, fx=-4x+9×4x-2-4×-2x2+9x-64x-22=-16x2+8x+36x-18+8x2-36x+244x-22=-8x2+8x+64x-22

    Ainsi, f est la fonction définie sur 12+ par fx=-8x2+8x+64x-22.


  4. Étudier les variations de f.

    Les variations de f, se déduisent de l'étude du signe de sa dérivée.

    Or fx=-8x2+8x+64x-22, donc le signe de f est le même que celui du polynôme Px=-8x2+8x+6 sur l'intervalle 12+.

    Étudions le signe du polynôme du second degré Px=-8x2+8x+6 avec a=-8b=8 et c=6
    Δ=82-4×-8×6=256, le polynôme admet deux racines x1=-8-162×-8=32etx2=-8+162×-8=-12

    Un polynôme du second degré est toujours du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines.
    Nous pouvons donc déduire le signe de f sur l'intervalle 12+ et dresser le tableau des variations de f.

     x 12  32 +
     Signe de f '   +0 

    fx

     

    -

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    34

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    -


    Calcul du maximum de la fonction atteint pour x=32 :f32=-2×322+9×32-64×32-2=-92+272-66-2=34

  5. Donner une équation de la tangente T à la courbe 𝒞f au point d'abscisse 1. Représenter la tangente T sur le graphique.

    Une équation de la tangente T à la courbe Cf au point au point d'abscisse 1 est :y=f1×x-1+f1

    Or f1=-8+8+64-22=32etf1=-2+9-64-2=12

    D'où y=f1×x-1+f1y=32×x-1+12y=32x-1

    La tangente T à la courbe Cf au point au point d'abscisse 1 a pour équation y=32x-1.


    La droite T passe par le point A de la courbe Cf d'abscisse 1 et coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées 0-1.

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

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