Soit f la fonction définie sur par : . On note sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
Déterminez les réels a,b et c tels que .
Pour tout réel ,
Par indentification à , a,b et c sont solutions du système :
Ainsi, sur , .
Déterminer, , qu'en déduit-on pour la courbe ?
et alors par quotient, .
Ainsi, donc la courbe admet pour asymptote verticale la droite d'équation .
Déterminer, .
donc .
Montrer que la courbe admet pour asymptote la droite d'équation .
Sur l'intervalle , donc d'autre part,
Ainsi, donc la courbe admet pour asymptote la droite d'équation au voisinage de
Calculer la dérivée de la fonction f.
Sur l'intervalle , la fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables.
Avec u et v fonctions définies sur l'intervalle par :
Donc sur l'intervalle ,
Ainsi, est la fonction définie sur par .
Étudier les variations de f.
Les variations de f, se déduisent de l'étude du signe de sa dérivée.
Or , donc le signe de est le même que celui du polynôme sur l'intervalle .
Étudions le signe du polynôme du second degré avec
, le polynôme admet deux racines
Un polynôme du second degré est toujours du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines.
Nous pouvons donc déduire le signe de sur l'intervalle et dresser le tableau des variations de f.
x | ||||||
Signe de f ' | + | 0 | − | |||
Calcul du maximum de la fonction atteint pour :
Donner une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 1. Représenter la tangente T sur le graphique.
Une équation de la tangente T à la courbe au point au point d'abscisse 1 est :
Or
D'où
La tangente T à la courbe au point au point d'abscisse 1 a pour équation .
La droite T passe par le point A de la courbe d'abscisse 1 et coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées .
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