contrôle du 24 novembre 2007

Corrigé de l'exercice 1

Soit f la fonction définie sur $\left]{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$ par : $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{-2x^2+9x-6}{4x-2}}$. On note ${𝒞}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

1. Déterminez les réels a,b et c tels que $f\left(x\right)=ax+b+{\displaystyle \frac{c}{4x-2}}$.

   Pour tout réel $x\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}$, $$\begin{array}{lll}ax+b+{\displaystyle \frac{c}{4x-2}}& =& {\displaystyle \frac{\left(ax+b\right)\left(4x-2\right)+c}{4x-2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{4a{x}^2+4bx-2ax-2b+c}{4x-2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{4a{x}^2+\left(4b-2a\right)x-2b+c}{4x-2}}\end{array}$$

   Par indentification à $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{-2x^2+9x-6}{4x-2}}$ , a,b et c sont solutions du système : $$\{\begin{array}{rcr}4a& =& -2\\ 4b-2a& =& 9\\ -2b+c& =& -6\end{array}\iff \{\begin{array}{rcr}a& =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ b& =& 2\\ c& =& -2\end{array}$$

   Ainsi, sur $\left]{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$, $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{x}{2}}+2-{\displaystyle \frac{2}{4x-2}}$.

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2. Déterminer, $\underset{x\to {{\displaystyle \frac{1}{2}}}^{+}}{\lim }f\left(x\right)$, qu'en déduit-on pour la courbe ${𝒞}_f$ ?

   $\underset{x\to {{\displaystyle \frac{1}{2}}}^{+}}{\lim }-2x^2+9x-6=-2$ et $\underset{x\to {{\displaystyle \frac{1}{2}}}^{+}}{\lim }4x-2=0^{+}$ alors par quotient, $\underset{x\to {{\displaystyle \frac{1}{2}}}^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{-2x^2+9x-6}{4x-2}}=-\infty$.

   Ainsi, $\underset{x\to {{\displaystyle \frac{1}{2}}}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ donc la courbe ${𝒞}_f$ admet pour asymptote verticale la droite d'équation $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

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3. 1. Déterminer, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{-2x^2+9x-6}{4x-2}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{-2x^2}{4x}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }-{\displaystyle \frac{x}{2}}=-\infty$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

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   2. Montrer que la courbe ${𝒞}_f$ admet pour asymptote la droite d'équation $y=2-{\displaystyle \frac{x}{2}}$.

      Sur l'intervalle $\left]{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$, $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{x}{2}}+2-{\displaystyle \frac{2}{4x-2}}$ donc $$f\left(x\right)-\left(2-{\displaystyle \frac{x}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{2}{4x-2}}$$ d'autre part, $\underset{x\to +\infty }{\lim }-{\displaystyle \frac{2}{4x-2}}=0$

      Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)-\left(2-{\displaystyle \frac{x}{2}}\right)=0$ donc la courbe ${𝒞}_f$ admet pour asymptote la droite d'équation $y=2-{\displaystyle \frac{x}{2}}$ au voisinage de $+\infty$

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4. Calculer la dérivée de la fonction f.

   Sur l'intervalle $\left]{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$, la fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $$\begin{array}{ccc}f={\displaystyle \frac{u}{v}}& \text{d'où}& f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}\end{array}$$

   Avec u et v fonctions définies sur l'intervalle $\left]{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$ par : $$\begin{array}{lrll}& u\left(x\right)=-2x^2+9x-6& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=-4x+9\\ \text{et}& v\left(x\right)=4x-2& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=4\end{array}$$

   Donc sur l'intervalle $\left]{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(-4x+9\right)\times \left(4x-2\right)-4\times \left(-2x^2+9x-6\right)}{{\left(4x-2\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-16x^2+8x+36x-18+8x^2-36x+24}{{\left(4x-2\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-8x^2+8x+6}{{\left(4x-2\right)}^2}}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $\left]{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-8x^2+8x+6}{{\left(4x-2\right)}^2}}$.

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5. Étudier les variations de f.

   Les variations de f, se déduisent de l'étude du signe de sa dérivée.

   Or $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-8x^2+8x+6}{{\left(4x-2\right)}^2}}$, donc le signe de $f\prime$ est le même que celui du polynôme $P\left(x\right)=-8x^2+8x+6$ sur l'intervalle $\left]{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$.

   Étudions le signe du polynôme du second degré $P\left(x\right)=-8x^2+8x+6$ avec $a=-8\text{, }b=8\text{ et }c=6$
   $\text{Δ}=8^2-4\times \left(-8\right)\times 6=256$, le polynôme admet deux racines $$\begin{array}{ccc}{x}_1={\displaystyle \frac{-8-16}{2\times \left(-8\right)}}={\displaystyle \frac{3}{2}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-8+16}{2\times \left(-8\right)}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   Un polynôme du second degré est toujours du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines.
   Nous pouvons donc déduire le signe de $f\prime$ sur l'intervalle $\left]{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$ et dresser le tableau des variations de f.

   x	${\displaystyle \frac{1}{2}}$			${\displaystyle \frac{3}{2}}$		$+\infty$
   Signe de f '			+	0	−
   $f\left(x\right)$		$-\infty$		${\displaystyle \frac{3}{4}}$		$-\infty$

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   Calcul du maximum de la fonction atteint pour $x={\displaystyle \frac{3}{2}}$ :$$\begin{array}{ccccccc}f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)& =& {\displaystyle \frac{-2\times {\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2+9\times {\displaystyle \frac{3}{2}}-6}{4\times {\displaystyle \frac{3}{2}}-2}}& =& {\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{9}{2}}+{\displaystyle \frac{27}{2}}-6}{6-2}}& =& {\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}$$

6. Donner une équation de la tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 1. Représenter la tangente T sur le graphique.

   Une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point au point d'abscisse 1 est :$$y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)$$

   Or $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{-8+8+6}{{\left(4-2\right)}^2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}& \text{et}& f\left(1\right)={\displaystyle \frac{-2+9-6}{4-2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   D'où $$\begin{array}{lll}y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)& \iff & y={\displaystyle \frac{3}{2}}\times \left(x-1\right)+{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & \iff & y={\displaystyle \frac{3}{2}}x-1\end{array}$$

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point au point d'abscisse 1 a pour équation $y={\displaystyle \frac{3}{2}}x-1$.

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   La droite T passe par le point A de la courbe $C_f$ d'abscisse 1 et coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $\left(0;-1\right)$.

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