contrôles en terminale ES

contrôle du 24 novembre 2007

thèmes abordés

  • Étude d'une fonction rationnelle : limites, asymptotes, dérivée, variations, tangente à la courbe.
  • Ajustement d'un nuage de points.

exercice 1

Soit f la fonction définie sur 12+ par : fx=-2x2+9x-64x-2. On note 𝒞f sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

  1. Déterminez les réels a,b et c tels que f(x)=ax+b+c4x-2.

  2. Déterminer, limx12+fx, qu'en déduit-on pour la courbe 𝒞f ?

    1. Déterminer, limx+f(x).

    2. Montrez que la courbe 𝒞f admet pour asymptote la droite d'équation y=2-x2.

  3. Calculer la dérivée de la fonction f.

  4. Étudier les variations de f.

  5. Donner une équation de la tangente T à la courbe 𝒞f au point d'abscisse 1. Représenter la tangente T sur le graphique.


Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

exercice 2

D'après sujet bac Métropole septembre 2007.

Le tableau suivant donne, en milliers, le nombre de Pactes Civils de Solidarité (PACS) signés chaque année en France

Source INSEE.
Années 20002001200220032004
Rang de l'année, xi01234
Nombres de PACS en milliers, yi22,119,42531,139,6

  1. Calculer, à 0,1 près, le pourcentage d'augmentation du nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité entre 2000 et 2004.

    1. Sur votre copie, représenter le nuage de points associé à la série statistique xiyi dans un repère orthogonal :

      • sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 2 cm pour une unité ;
      • sur l'axe des ordonnées, on placera 15 milliers à l'origine et on choisira 1 cm pour 2 milliers.
    2. Donner les coordonnées du point moyen G du nuage. Placer le point G dans le repère.

  2. On envisage un ajustement affine.

    1. À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés, sous la forme y=ax+b.
      Par la suite, on pose fx=ax+b.

    2. En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu'en 2007, donner une estimation du nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés en 2007.

  3. On envisage un autre type d'ajustement.

    On modélise le nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés durant l'année 2000+x (x entier) à l'aide de la fonction g définie par gx=1,6x2-1,8x+21,4.

    1. En utilisant ce second modèle, calculer le nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés en 2007.

    2. On suppose que l'évolution se poursuit selon ce modèle jusqu'en 2015.
      À partir de quelle année, le nombre de Pactes Civils de Solidarité signés sera-t-il supérieur à 100 000 ?

  4. Comparaison des deux ajustements.

    Pour chacun des deux modèles, on calcule ci-dessous le tableau des carrés des écarts entre les valeurs réelles et les valeurs calculées à l'aide de chacun des deux ajustements.

    xi01234
    yi-fxi21611,365,951,027,95

    xi01234
    yi-gxi2     
    1. Recopier et compléter le deuxième tableau, les valeurs étant arrondies au centième.

    2. Lequel de ces deux ajustements semble le plus proche de la réalité ? Justifier.



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