contrôle du 24 novembre 2007

Corrigé de l'exercice 2

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1. Calculer, à 0,1 près, le pourcentage d'augmentation du nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité entre 2000 et 2004.

   Le pourcentage d'augmentation du nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité entre 2000 et 2004 est : $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{\mathrm{39,6}-\mathrm{22,1}}{\mathrm{22,1}}}\times 100& \approx & \mathrm{79,186}\end{array}$$

   Entre 2000 et 2004, le nombre de milliers de PACS a augmenté de 79,2% (arrondi à 0,1 près).

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2. 1. Sur votre copie, représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i;y_i\right)$ dans un repère orthogonal :

      • sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 2 cm pour une unité ;
      • sur l'axe des ordonnées, on placera 15 milliers à l'origine et on choisira 1 cm pour 2 milliers.

   2. Donner les coordonnées du point moyen G du nuage. Placer le point G dans le repère.

      Les coordonnées du point moyen sont : $$\begin{array}{ccc}{x}_G={\displaystyle \frac{0+1+2+3+4}{5}}=2& \text{et}& y_G={\displaystyle \frac{\mathrm{22,1}+\mathrm{19,4}+25+\mathrm{31,1}+\mathrm{39,6}}{5}}=\mathrm{27,44}\end{array}$$

      Le point moyen G a pour coordonnées $G\left(2;\mathrm{27,44}\right)$

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3. On envisage un ajustement affine.

   1. À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y=ax+b$.
      Par la suite, on pose $f\left(x\right)=ax+b$.

      Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : $$y=\mathrm{4,67}x+\mathrm{18,1}$$

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   2. En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu'en 2007, donner une estimation du nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés en 2007.

      Le rang de l'année 2007 est 7 d'où une estimation à l'aide de cet ajustement de : $$\begin{array}{lll}y& =& \mathrm{4,67}\times 7+\mathrm{18,1}\\ & =& \mathrm{50,79}\end{array}$$

      Arrondi à 0,1 près, le nombre de Pactes Civils de Solidarité signés en 2007 sera d'environ 50,8 milliers.

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4. On envisage un autre type d'ajustement.

   On modélise le nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés durant l'année $2000+x$ (x entier) à l'aide de la fonction g définie par $$g\left(x\right)=\mathrm{1,6}{x}^2-\mathrm{1,8}x+\mathrm{21,4}$$

   1. En utilisant ce second modèle, calculer le nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés en 2007.

      $$\begin{array}{lll}g\left(7\right)& =& \mathrm{1,6}\times 7^2-\mathrm{1,8}\times 7+\mathrm{21,4}\\ & =& \mathrm{87,2}\end{array}$$

      Le nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés en 2007 sera de 87,2.

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   2. On suppose que l'évolution se poursuit selon ce modèle jusqu'en 2015.
      À partir de quelle année, le nombre de Pactes Civils de Solidarité signés sera-t-il supérieur à 100 000 ?

      Il s'agit de déterminer le plus petit rang x solution de l'inéquation $g\left(x\right)⩾100$. Soit : $$\begin{array}{lll}\mathrm{1,6}{x}^2-\mathrm{1,8}x+\mathrm{21,4}⩾100& \iff & \mathrm{1,6}{x}^2-\mathrm{1,8}x-\mathrm{78,6}⩾0\end{array}$$

      Étudions le signe du polynôme du second degré $P\left(x\right)=\mathrm{1,6}{x}^2-\mathrm{1,8}x-\mathrm{78,6}$ avec $a=\mathrm{1,6}\text{, }b=-\mathrm{1,8}\text{ et }c=-\mathrm{78,6}$

      $\text{Δ}={\left(-\mathrm{1,8}\right)}^2-4\times \mathrm{1,6}\times \left(-\mathrm{78,6}\right)=\mathrm{506,28}$

      Le polynôme admet deux racines : $$\begin{array}{ccc}{x}_1={\displaystyle \frac{\mathrm{1,8}-\sqrt{\mathrm{506,28}}}{2\times \mathrm{1,6}}}\approx -\mathrm{6,47}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{\mathrm{1,8}+\sqrt{\mathrm{506,28}}}{2\times \mathrm{1,6}}}\approx \mathrm{7,59}\end{array}$$

      Un polynôme du second degré est toujours du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines.

      Le rang de l'année est donc le plus petit entier $x⩾x_2$. Soit $x=8$.

      À partir de 2008, le nombre de Pactes Civils de Solidarité signés sera supérieur à 100 000.

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5. Comparaison des deux ajustements.

   Pour chacun des deux modèles, on calcule ci-dessous le tableau des carrés des écarts entre les valeurs réelles et les valeurs calculées à l'aide de chacun des deux ajustements.

   $x_i$	0	1	2	3	4
   ${\left(y_i-f\left(x_i\right)\right)}^2$	16	11,36	5,95	1,02	7,95

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   $x_i$	0	1	2	3	4
   ${\left(y_i-g\left(x_i\right)\right)}^2$

   1. Recopier et compléter le deuxième tableau, les valeurs étant arrondies au centième.

      $x_i$	0	1	2	3	4
      ${\left(y_i-g\left(x_i\right)\right)}^2$	0,49	3,24	0,64	0,49	0,04

      Assistance calculatrice

      Les calculatrices actuelles permettent de calculer des sommes, des produits ... de listes.

      Suivant le modèle, saisir en List1 ou L1 les valeurs de la série $x_i$ et en List2 ou L2 les valeurs de la série $y_i$.

      Se placer ensuite sur le nom de la liste List3 ou L3 et écrire le calcul souhaité :

      (L2 - (1.6*L2^2-1.8*L1+21.4))^2

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   2. Lequel de ces deux ajustements semble le plus proche de la réalité ? Justifier.

      Pour une valeur $x_i$, ${\left(y_i-f\left(x_i\right)\right)}^2$ ( respectivement ${\left(y_i-g\left(x_i\right)\right)}^2$ ) est le carré de l'erreur commise en remplaçant la valeur observée $y_i$ par l'estimation obtenue à l'aide de l'ajustement affine f (respectivement à l'aide de la fonction g).
      D'une manière générale, on convient que l'ajustement le plus proche de la réalité est celui, pour lequel la somme des carrés des erreurs commises est la plus petite.

      Or $$\begin{array}{lll}{S}_f& =& \sum _{i=1}^4{\left(y_i-f\left(x_i\right)\right)}^2\\ & =& 16+\mathrm{11,36}+\mathrm{5,95}+\mathrm{1,02}+\mathrm{7,95}\\ & =& \mathrm{42,28}\end{array}$$ et $$\begin{array}{lll}{S}_g& =& \sum _{i=1}^4{\left(y_i-g\left(x_i\right)\right)}^2\\ & =& \mathrm{0,49}+\mathrm{3,24}+\mathrm{0,64}+\mathrm{0,49}+\mathrm{0,04}\\ & =& \mathrm{4,9}\end{array}$$

      ${\displaystyle \sum _{i=1}^4}{\left(y_i-g\left(x_i\right)\right)}^2<{\displaystyle \sum _{i=1}^4}{\left(y_i-f\left(x_i\right)\right)}^2$ donc l'ajustement à l'aide de la fonction g semble le plus proche de la réalité.

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