contrôle du 26 septembre 2009

Corrigé de l'exercice 1

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{x+1}}$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

1. 1. Déterminer $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ . En déduire l'existence d'une asymptote pour la courbe $C_f$.

      • $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }x+1=0^{+}$ donc $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{2}{x+1}}=+\infty$. Par conséquent, $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }1-{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{x+1}}=-\infty$

        Ainsi, $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ alors la courbe $C_f$ admet pour asymptote la droite d'équation $x=-1$.

        ---

      • $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2}{x+1}}=0$. Par conséquent, $\underset{x\to +\infty }{\lim }1-{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{x+1}}=-\infty$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

        ---

   2. Montrer que la courbe $C_f$ admet une deuxième asymptote d'équation $y=-{\displaystyle \frac{x}{2}}+1$.

      $f\left(x\right)-\left(-{\displaystyle \frac{x}{2}}+1\right)=-{\displaystyle \frac{2}{x+1}}$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2}{x+1}}=0$ donc :

      la courbe $C_f$ admet pour asymptote la droite d'équation $y=-{\displaystyle \frac{x}{2}}+1$ en $+\infty$.

      ---

   3. Tracer sur le graphique précédent, les asymptotes à la courbe $C_f$ .

2. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

   1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

      À partir des formules usuelles de dérivation on trouve :

      $f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}}$

      ---

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$, $$-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{{\left(x+1\right)}^2}}={\displaystyle \frac{-{\left(x+1\right)}^2+4}{2{\left(x+1\right)}^2}}={\displaystyle \frac{\left(2-\left(x+1\right)\right)\left(2+\left(x+1\right)\right)}{2{\left(x+1\right)}^2}}={\displaystyle \frac{\left(1-x\right)\left(3+x\right)}{2{\left(x+1\right)}^2}}$$

      Ainsi, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(1-x\right)\left(3+x\right)}{2{\left(x+1\right)}^2}}$. Or sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$, $3+x>0$ et $2{\left(x+1\right)}^2>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $1-x$. D'où le tableau établissant le signe de $f\prime \left(x\right)$ :

      x	$-1$				1		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   3. Donner le tableau complet des variations de f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      x	$-1$				1		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$			$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$		$-\infty$

      ---

      Calcul du maximum : $$f\left(1\right)=1-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{1+1}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmePropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Étude de fonctions, limites et dérivéeFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MFonctions (I) : Limites, dérivée de fonctions composéesConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmeLogarithme d'une fonctionPropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement d'un nuage de pointsProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.