contrôle du 26 septembre 2009

Corrigé de l'exercice 3

1. 1. Donner le tableau des variations de la fonction g.

      Les variations de la fonction g se déduisent du signe de sa dérivée. Or : $$\begin{array}{ccccc}x>-1& \iff & x+1>0& \iff & {\displaystyle \frac{1}{x+1}}>0\end{array}$$

      D'où le tableau des variations de la fonction g :

      x	$-1$				$+\infty$
      $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x+1}}$				+
      $g\left(x\right)$			$-\infty$		$+\infty$

      ---

   2. Étudier le signe de $g\left(x\right)$.

      La fonction g est strictement croissante et $g\left(3\right)=0$ . Par conséquent :

      • Si $-1<x<3$, alors $g\left(x\right)<g\left(3\right)$. Soit $g\left(x\right)<0$

      • Si $x>3$, alors $g\left(x\right)>g\left(3\right)$. Soit $g\left(x\right)>0$

      D'où le tableau établissant le signe de la fonction g :

      x	$-1$				3		$+\infty$
      $g\left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

2. 1. Calculer $f\left(2\right)$.

      $$\begin{array}{ccc}f\left(2\right)=g\left[u\left(2\right)\right]& \text{Soit}& f\left(2\right)=g\left(2^2-1\right)=g\left(3\right)=0\end{array}$$

      L'image de 2 par la fonction f est égale à 0.

      ---

   2. Déterminer $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ . En déduire l'existence d'une asymptote pour la courbe $C_f$.

      f est la fonction composée de la fonction u suivie de la fonction g

      • $\underset{x\to 0}{\lim }u\left(x\right)=-1$ et $\underset{x\to -1}{\lim }g\left(x\right)=-\infty$ alors par composition, $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

        ---

      • $\underset{x\to +\infty }{\lim }u\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=+\infty$ alors par composition, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

        ---

      $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ alors la courbe $C_f$ admet pour asymptote l'axe des ordonnées.

      ---

   3. On admet que f est dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$ et on note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

      Par application du théorème sur la dérivée des fonctions composées, $f\prime \left(x\right)=g\prime \left[u\left(x\right)\right]\times u\prime \left(x\right)$.

      Or $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x+1}}$ d'où $g\prime \left[u\left(x\right)\right]={\displaystyle \frac{1}{u\left(x\right)+1}}$ et $u\left(x\right)=x^2-1$ d'où $u\prime \left(x\right)=2x$

      Donc pour tout réel $x>0$, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{\left(x^2-1\right)+1}}\times 2x& \text{Soit}& f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{x^2}}={\displaystyle \frac{2}{x}}\end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}$

      ---

   4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 2. La tracer sur le graphique précédent.

      Une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 2 est :$$\begin{array}{ccc}y=f\prime \left(2\right)\times \left(x-2\right)+f\left(2\right)& \text{Soit}& y={\displaystyle \frac{2}{2}}\times \left(x-2\right)+0\iff y=x-2\end{array}$$

      La tangente T à la courbe $C_f$ au point au point d'abscisse 2 a pour équation $y=x-2$.

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmePropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Étude de fonctions, limites et dérivéeFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MFonctions (I) : Limites, dérivée de fonctions composéesConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmeLogarithme d'une fonctionPropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement d'un nuage de pointsProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.