contrôles en terminale ES

contrôle du 21 novembre 2009

Corrigé de l'exercice 1

Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée.

f est définie sur $ℝ$ par $f (x) = x^{2} - 5 x - 1$ et $F (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ .
D'après la formule donnant les primitives de $x^{n}$ , les primitives de f sont les fonctions F définies sur $ℝ$ telles que : $\begin{matrix} F (x) = \frac{x^{2 + 1}}{3} - 5 \times \frac{x^{1 + 1}}{2} - x + c & Soit & F (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} - x + c \end{matrix}$
Or $\begin{array}{l} F (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} & \Leftrightarrow & - \frac{1}{24} - \frac{5}{8} + \frac{1}{2} + c = \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow & c = \frac{2}{3} \end{array}$
Ainsi, la primitive de la fonction f est la fonction F défine sur $ℝ$ par $F (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} - x + \frac{2}{3}$ .
f est définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = x^{3} + \frac{2}{x^{2}}$ et $F (1) = - \frac{1}{4}$ .
D'après les formules usuelles, les primitives de f sont les fonctions F définies sur $] 0; + \infty [$ telles que : $\begin{matrix} F (x) = \frac{x^{4}}{4} - \frac{2}{x} + c \end{matrix}$
Or $\begin{array}{l} F (1) = - \frac{1}{4} & \Leftrightarrow & \frac{1}{4} - 2 + c = - \frac{1}{4} \\ \Leftrightarrow & c = \frac{3}{2} \end{array}$
Ainsi, la primitive de la fonction f est la fonction F défine sur $] 0; + \infty [$ par $F (x) = \frac{x^{4}}{4} - \frac{2}{x} + \frac{3}{2}$ .
f est définie sur $] \frac{1}{2}; + \infty [$ par $f (x) = \frac{4}{{(1 - 2 x)}^{2}}$ et $F (\frac{3}{2}) = - \frac{1}{2}$ .
Pour tout réel x appartenant à l'intervalle $] \frac{1}{2}; + \infty [$ , posons $u (x) = 1 - 2 x$ d'où $u' (x) = - 2$ .
Ainsi, $f = - 2 \times \frac{u'}{u^{2}}$ d'où $F = \frac{2}{u} + c$ .
Par conséquent, les primitives de f sont les fonctions F définies sur $] \frac{1}{2}; + \infty [$ telles que : $\begin{matrix} F (x) = \frac{2}{1 - 2 x} + c \end{matrix}$
Or $\begin{array}{l} F (\frac{3}{2}) = - \frac{1}{2} & \Leftrightarrow & \frac{2}{1 - 2} + c = - \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow & c = \frac{1}{2} \end{array}$
Ainsi, la primitive de la fonction f est la fonction F défine sur $] \frac{1}{2}; + \infty [$ par $F (x) = \frac{2}{1 - 2 x} + \frac{1}{2}$ .

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