contrôle du 21 novembre 2009

Corrigé de l'exercice 3

On a tracé ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthogonal, les courbes $C_f$ et $C_g$ représentatives de deux fonctions f et g définies et dérivables sur $ℝ$.
La droite D est tangente à la courbe $C_f$ au point $A\left(-1;0\right)$ et passe par le point de coordonnées $\left(-3;1\right)$.

1. Par lecture graphique :

   1. Déterminer $g\prime \left(-1\right)$ et $f\prime \left(-1\right)$.

      • La tangente à la courbe $C_g$ au point $E\left(-1;-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ est parallèle à l'axe des abscisses donc $g\prime \left(-1\right)=0$

      • Le nombre dérivé $f\prime \left(-1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente D à la courbe $C_f$ au point $A\left(-1;0\right)$ d'où $$\begin{array}{ccccc}f\prime \left(-1\right)& =& {\displaystyle \frac{1-0}{-3+1}}& =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

      Ainsi, $g\prime \left(-1\right)=0$ et $f\prime \left(-1\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

      ---

   2. Une des deux fonctions est la dérivée de l'autre, déterminez laquelle en justifiant votre choix.

      Les variations d'une fonction se déduisent du signe de sa dérivée. Par lecture graphique, nous pouvons établir le tableau des variations des fonctions f et g ainsi que le tableau du signe de leurs dérivées respectives notées $f\prime$ et $f\prime$

      x	$-\infty$		0		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$

      ---

      x	$-\infty$		− 1		1		$+\infty$
      $g\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $g\left(x\right)$

      ---

      La fonction g est la seule susceptible d'être la dérivée de la fonction f.

      ---

2. g est la fonction définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{8x}{{\left(x^2+3\right)}^2}}$.

   1. Déterminer une primitive de la fonction g.

      Pour tout réel x, posons $u\left(x\right)=x^2+3$ d'où $u\prime \left(x\right)=-2x$.

      Ainsi, $g=4\times {\displaystyle \frac{u\prime }{u^2}}$ d'où $G=-{\displaystyle \frac{4}{u}}+c$.

      Par conséquent, les primitives de g sont les fonctions G définies sur $ℝ$ telles que : $$\begin{array}{c}G\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{4}{x^2+3}}+c\end{array}$$

      Une primitive de la fonction g est la fonction G défine sur $ℝ$ par $G\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{4}{x^2+3}}$.

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   2. En déduire que f est la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{4}{x^2+3}}$

      Dans la question 1b nous avons établi que la fonction g est la dérivée de la fonction f. Donc f est une primitive de la fonction g. D'autre part, la courbe $C_f$ passe par le point $A\left(-1;0\right)$ . Par conséquent, $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{4}{x^2+3}}+c& \text{et}& f\left(-1\right)=0\end{array}$$

      Soit $$\begin{array}{lll}-{\displaystyle \frac{4}{1+3}}+c=0& \iff & c=1\end{array}$$

      Ainsi, f est la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{4}{x^2+3}}$.

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3. Calculer la limite de f en $-\infty$ et en $+\infty$. Interpréter graphiquement ces résultats.

   • $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2+3=+\infty$ donc par quotient, $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{4}{x^2+3}}=0$. Donc $\underset{x\to -\infty }{\lim }1-{\displaystyle \frac{4}{x^2+3}}=1$

   • $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2+3=+\infty$. Donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }1-{\displaystyle \frac{4}{x^2+3}}=1$

   Ainsi, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$ donc la droite d'équation $y=1$ est asymptote là a courbe $C_f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

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4. Étudier les variations de la fonction f .

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée g.

   x	$-\infty$		0		$+\infty$
   $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{8x}{{\left(x^2+3\right)}^2}}$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\left(x\right)$	1		$-{\displaystyle \frac{1}{3}}$		1

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5. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point B. La tracer sur le graphique précédent.

   Une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point B d'abscisse 1 est : $$\begin{array}{ccc}y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)& \text{Soit}& y=g\left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)\end{array}$$

   Or $g\left(1\right)={\displaystyle \frac{8}{{\left(1+3\right)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $f\left(1\right)=1-{\displaystyle \frac{4}{1+3}}=0$. Donc $$\begin{array}{ccc}y={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(x-1\right)& \iff & y={\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point au point d'abscisse 1 a pour équation $y={\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

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