contrôle du 12 décembre 2009

Corrigé de l'exercice 3

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ telle que pour tout réel x de cet intervalle : $f\left(x\right)=\left(1+\ln x\right)\left(2-\ln x\right)$ et dont la courbe représentative $C_f$ est donnée ci-dessous.

1. 1. Résoudre l'équation $f\left(x\right)=0$ . Les valeurs exactes sont demandées.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $f\left(x\right)=0\iff \left(1+\ln x\right)\left(2-\ln x\right)=0$. Soit $$\begin{array}{llcll}& 1+\ln x=0& \text{ou}& & 2-\ln x=0\\ \iff & \ln x=-1& \text{ou}& & \ln x=2\\ \iff & \ln x=-\ln \mathrm{e}& \text{ou}& & \ln x=2\ln \mathrm{e}\\ \iff & \ln x=\ln \left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\right)& \text{ou}& & \ln x=\ln \left({\mathrm{e}}^2\right)\\ \iff & x={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}& \text{ou}& & x={\mathrm{e}}^2\end{array}$$

      L'ensemble des solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$ est $S=\left\{{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}};{\mathrm{e}}^2\right\}$

      ---

   2. Montrer que le signe de $f\left(x\right)$ est donné pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par le tableau suivant :

      x	0		${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$		${\mathrm{e}}^2$		$+\infty$
      Signe de $f\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

      Nous avons :$$\begin{array}{ccccc}1+\ln x<0& \iff & \ln x<-1& \iff & x<{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\\ \text{et}& 2-\ln x<0& \iff & \ln x>2& \iff & x>{\mathrm{e}}^2\end{array}$$

      Étudions le signe du produit à l'aide d'un tableau :

      x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$		${\mathrm{e}}^2$		$+\infty$
      Signe de $\left(1+\ln x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
      Signe de $\left(2-\ln x\right)$		+	$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      Signe de $f\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

2. Calculer les limites de la fonction f en 0 et en $+\infty$

   • $\underset{x\to 0}{\lim }1+\ln x=-\infty$ et $\underset{x\to 0}{\lim }2-\ln x=+\infty$ donc par produit, $\underset{x\to 0}{\lim }\left(1+\ln x\right)\left(2-\ln x\right)=-\infty$

   • $\underset{x\to +\infty }{\lim }1+\ln x=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }2-\ln x=-\infty$ donc par produit, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1+\ln x\right)\left(2-\ln x\right)=-\infty$

   Ainsi, $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

   ---

3. 1. On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f. Calculer $f\prime \left(x\right)$ et vérifer que $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1-2\ln x}{x}}$ pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, posons :$$\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=\left(1+\ln x\right)& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\\ v\left(x\right)=\left(2-\ln x\right)& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{x}}\end{array}$$

      Alors $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ . Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{1}{x}}\left(2-\ln x\right)-{\displaystyle \frac{1}{x}}\left(1+\ln x\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{2-\ln x-1-\ln x}{x}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1-2\ln x}{x}}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1-2\ln x}{x}}$.

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   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x.

      Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ , $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $1-2\ln x$. $$\begin{array}{ccc}1-2\ln x⩽0& \iff & \ln x⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & \iff & \ln x⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \mathrm{e}\\ & \iff & \ln x⩾\ln \sqrt{\mathrm{e}}\\ & \iff & x⩾\sqrt{\mathrm{e}}\end{array}$$

      D'où le tableau établissant le signe de la dérivée

      x	0			$\sqrt{\mathrm{e}}$		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$			+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   3. En déduire les variations de f. On précisera la valeur exacte du maximum de f et la valeur exacte de x pour laquelle il est atteint

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau établissant le signe de la dérivée et les variations de f.

      x	0			$\sqrt{\mathrm{e}}$		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$			+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$		$-\infty$		${\displaystyle \frac{9}{4}}$		$-\infty$

      D'après le tableau des variations f admet un maximum atteint pour $x=\sqrt{\mathrm{e}}$ et $$f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)=\left(1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\times \left(2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{9}{4}}$$

4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 et la tracer sur le graphique.

   Une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 est : $$\begin{array}{c}y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)\end{array}$$

   Or $f\left(1\right)=\left(1+\ln 1\right)\left(2-\ln 1\right)=2$ et $f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{1-2\ln 1}{1}}=1$. Donc $$\begin{array}{ccc}y=x-1+2& \iff & y=x+1\end{array}$$

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point au point d'abscisse 1 a pour équation $y=x+1$.

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5. 1. Donner le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=2$.

      Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ , la fonction f est dérivable donc continue sur cet intervalle. D'autre part, sur chacun des intervalles $\left]0;\sqrt{\mathrm{e}}\right]$ ou $\left[\sqrt{\mathrm{e}};+\infty \right[$ la fonction f est monotone et $f\left(x\right)\in \left]-\infty ;{\displaystyle \frac{9}{4}}\right]$. Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaireSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$., l'équation $f\left(x\right)=2$ admet une solution unique sur chacun de ces intervalles.

      L'équation $f\left(x\right)=2$ admet deux solutions $\alpha \in \left]0;\sqrt{\mathrm{e}}\right[$ et $\beta \in \left]\sqrt{\mathrm{e}};+\infty \right[$.

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   2. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $\left(1+X\right)\left(2-X\right)=2$

      Pour tout réel X$$\begin{array}{lll}\left(1+X\right)\left(2-X\right)=2& \iff & \left(2-X+2X-X^2\right)-2=0\\ & \iff & -X^2+X=0\\ & \iff & X\left(1-X\right)=0\\ & \text{Soit}& X=0\text{ ou }X=1\end{array}$$

      L'ensemble des solutions de l'équation $\left(1+X\right)\left(2-X\right)=2$ est $S=\left\{0;1\right\}$

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   3. En déduire les solutions de l'équation $f\left(x\right)=2$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, posons $X=\ln x$. Alors :$$\begin{array}{lllllllll}f\left(x\right)=2& \iff & \{\begin{array}{l}x>0\hfill \\ X=\ln x\hfill \\ \left(1+X\right)\left(2-X\right)=2\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}x>0\hfill \\ X=\ln x\hfill \\ X=0\text{ ou }X=1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}x>0\hfill \\ \ln x=0\text{ ou }\ln x=1\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}x>0\hfill \\ x=1\text{ ou }x=\mathrm{e}\hfill \end{array}\end{array}$$

      L'ensemble des solutions de l'équation $f\left(x\right)=2$ est $S=\left\{1;\mathrm{e}\right\}$

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