contrôles en terminale ES

bac blanc du 16 février 2010

Corrigé de l'exercice 2 : Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une entreprise dispose de deux unités de fabrication A et B pour un même produit. Le coût total de production exprimé en milliers d'euros de cet article pour x milliers d'articles produits dans l'unité A et de y milliers d'articles produits dans l'unité B est donné par $f (x; y) = \ln (2 x^{2} + y^{2} + 1)$ . La figure 1 ci-dessous représente, dans un repère orthogonal, la surface (S) d'équation $z = f (x; y)$ pour $0 ⩽ x ⩽ 10$ et $0 ⩽ y ⩽ 10$ .

partie a

Le point $B (2; 4; 2 \ln 5)$ appartient-il à la surface (S) ?
$\begin{array}{l} f (2; 4) & = & \ln (2 \times 2^{2} + 4^{2} + 1) \\ = & \ln (25) \\ = & 2 \ln 5 \end{array}$
Les coordonnées du point $B (2; 4; 2 \ln 5)$ vérifient l'équation de la surface (S) donc le point B appartient à la surface (S).
Placer sur la surface le point A, d'abscisse 6 et d'ordonnée 3. Calculer la valeur arrondie au dixième de sa cote.
$\begin{array}{l} f (6; 3) & = & \ln (2 \times 6^{2} + 3^{2} + 1) \\ = & \ln (82) \\ \approx & 4,4 \end{array}$
Le point A de la surface (S), d'abscisse 6 et d'ordonnée 3 est situé à l'intersection des lignes de niveau $x = 6$ et $y = 3$ . L'arrondi au dixième, de sa cote est égal à 4,4.
figure 1

partie b

La demande est de 9000 articles par jour. x et y sont donc liés par la relation $x + y = 9$ .

La figure 2 ci-dessous, représente la projection orthogonale de la surface (S) sur le plan (xOy), les courbes de niveau de cette surface étant représentées pour z variant de 1 à 6.
1. Quelle est la nature de l'ensemble (E) des points $M (x; y; z)$ de l'espace dont les coordonnées vérifient $x + y = 9$ ?
  L'ensemble (E) des points $M (x; y; z)$ de l'espace dont les coordonnées vérifient $x + y = 9$ est un plan parallèle à l'axe $(O z)$ .
  figure 1
2. Représenter l'ensemble (E) sur la figure 2 ci-dessous.
  L'intersection du plan (E) avec le plan $(x O y)$ est une droite passant par les points de coordonnées $(0; 9)$ et $(9; 0)$
  figure 2
3. En déduire graphiquement le coût total minimal pour une production de 9000 articles.
  Gaphiquement, le coût total minimal pour une production de 9000 articles est dans le plan $(x O y)$ , un point d'intersection de la droite d'équation $x + y = 9$ avec la courbe de niveau de cote minimale .
  Sur la figure 2 ci-dessus, c'est la courbe de niveau $z = 4$ tangente à la trace du plan $(x O y)$ au point de coordonnées $(3; 6)$ qui convient.
  Le coût total minimal pour une production de 9000 articles est de 4000 euros.
1. Vérifier que, sous la contrainte $x + y = 9$ , le coût total peut s'écrire sous la forme d'une fonction g définie sur $[0; 9]$ par $g (x) = \ln (3 x^{2} - 18 x + 82)$ .
  $\begin{matrix} {\begin{cases} x + y = 9 \\ f (x; y) = \ln (2 x^{2} + y^{2} + 1) \\ 0 ⩽ x ⩽ 9 \end{cases} & \Leftrightarrow & {\begin{cases} y = 9 - x \\ f (x; 9 - x) = \ln (2 x^{2} + {(9 - x)}^{2} + 1) \\ 0 ⩽ x ⩽ 9 \end{cases} & \Leftrightarrow & {\begin{cases} y = 9 - x \\ f (x; 9 - x) = \ln (3 x^{2} - 18 x + 82) \\ 0 ⩽ x ⩽ 9 \end{cases} \end{matrix}$
  Ainsi, sous la contrainte $x + y = 9$ , le coût total peut s'écrire sous la forme d'une fonction g définie sur $[0; 9]$ par $g (x) = \ln (3 x^{2} - 18 x + 82)$ .
2. Démontrer que la fonction g admet un minimum sur l'intervalle $[0; 9]$ .
  D'après le théorème sur les variations des fonctions composées, les fonctions u et $\ln u$ ont les mêmes variations sur tout intervalle où la fonction u est strictement positive.
  Or la fonction polynôme du second degré u définie pour tout réel x par $u (x) = 3 x^{2} - 18 x + 82$ est strictement positive ( $Δ < 0$ ) et le minimum de la fonction u est atteint pour $\begin{matrix} x = - \frac{b}{2 a} & Soit & x = - \frac{- 18}{6} = 3 \end{matrix}$
  Par conséquent, sur l'intervalle $[0; 9]$ , le minimum de la fonction g est atteint pour $x = 3$
3. En déduire le nombre de milliers d'articles produits dans l'unité A et le nombre de milliers d'articles produits dans l'unité B pour obtenir un coût total minimum. Quel est alors le montant arrondi au millier d'euros près du coût total ?
  D'après la question précédente, le coût total est minimum pour une production de 3 milliers d'articles dans l'unité A.
  Le nombre y de milliers d'articles que l'unité B devra produire est $y = 9 - 3 = 6$
  Le montant en milliers d'euros du coût total de production est $g (3) = \ln (3 \times 3^{2} - 18 \times 3 + 82) = \ln 55 \approx 4$
  Le coût total minimal pour une production de 9000 articles est de 4000 euros obtenu en produisant 3000 articles dans l'unité A et 6000 articles dans l'unité B.

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