contrôles en terminale ES

bac blanc du 16 février 2010

correction de l'exercice 3 : commun à tous les Élèves

Une entreprise envisage la fabrication d'un nouveau produit. Sa décision dépendra des résultats de plusieurs études.

Étude de la demande pour ce produit : c'est l'objet de la partie A.
Étude du coût moyen de production : c'est l'objet de la partie B.

partie a

Une étude a permis d'établir le tableau suivant où $x_{i}$ désigne le nombre d'articles exprimé en milliers, que la clientèle est disposée à acheter à un prix unitaire donné $y_{i}$ , exprimé en euros :

Nombre d'articles $x_{i}$ en milliers	1	3	5	8	10	12
Prix de vente $y_{i}$ en euros	140	120	110	90	80	70

Représenter le nuage de points $M (x_{i}; y_{i})$ dans le repère donné en annexe (unités 1 cm pour un millier d'articles sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 20 euros sur l'axe des ordonnées).
1. Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au dixième.
  Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est $y = - 6,2 x + 142$ (Coefficients arrondis au dixième)
2. Tracer la droite d'ajustement dans le repère donné en annexe.
  La droite passe par les points de coordonnées $(0; 142)$ et $(10; 80)$ .
On admet que le prix de vente P en euro d'un article est fonction de la demande x en milliers d'articles et qu'il est modélisé par l'ajustement affine précédent pour $x \in [1; 15]$
1. À combien faut-il fixer le prix de vente d'un article arrondi à l'euro près, si l'on veut pouvoir vendre au minimum 6500 articles ?
  $\begin{array}{l} x ⩾ 6,5 & \Leftrightarrow & - 6,2 x ⩽ - 40,3 \\ \Leftrightarrow & - 6,2 x + 142 ⩽ 101,7 \end{array}$
  Pour vendre au minimum 6500 articles, le prix de vente doit être inférieur ou égal à 101 euros.
2. Justifier que la recette $R (x)$ , exprimée en milliers d'euros, vérifie $R (x) = - 6,2 x^{2} + 142 x$
  Quelle est la recette maximale arrondie au millier d'euros près, que l'entreprise peut espérer obtenir ?
  La recette est égale au produit du prix unitaire d'un article par le nombre d'articles vendus.
  Pour un nombre d'acheteurs x exprimé en milliers, le prix de vente y est estimé à l'aide de l'ajustement affine précédent. Par conséquent, la recette $R (x)$ , exprimée en milliers d'euros, en fonction du prix unitaire x d'un objet est : $R (x) = (- 6,2 x + 142) \times x = - 6,2 x^{2} + 142 x$
  La fonction recette est la restriction d'une fonction polynôme du second degré à l'intervalle $[1; 15]$ , le maximum de la fonction R est atteint pour $\begin{matrix} x = - \frac{b}{2 a} & Soit & x = \frac{142}{12,4} \end{matrix}$ et $R (\frac{142}{12,4}) = - 6,2 \times {(\frac{142}{12,4})}^{2} + 142 \times \frac{142}{12,4} \approx 813$
  Arrondie au millier d'euros près, la recette maximale que l'entreprise peut espérer obtenir est de 813 000 euros.

partie b

Une étude a permis d'établir que le coût moyen de production d'un article est $C_{M} (x) = \frac{40 x - 20 \ln (x) + 280}{x}$ où x est exprimé en milliers et $x \in [1; 15]$ .
La courbe représentative de la fonction $C_{M}$ est tracée en annexe.

On note $C'$ la dérivée de la fonction $C_{M}$ .
1. Calculer $C' (x)$ .
  Sur l'intervalle $[1; 15]$ , la fonction $C_{M}$ est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $\begin{matrix} C_{M} = \frac{u}{v} & d'où & C' = \frac{u' v - u v'}{v^{2}} \end{matrix}$
  Avec u et v fonctions définies sur l'intervalle $[1; 15]$ , par : $\begin{array}{lrl} u (x) = 40 x - 20 \ln (x) + 280 & d'où & u' (x) = 40 - \frac{20}{x} \\ et & v (x) = x & d'où & v' (x) = 1 \end{array}$
  Donc pour tout réel x de l'intervalle $[1; 15]$ , $\begin{array}{lll} C' (x) & = & \frac{(40 - \frac{20}{x}) \times x - (40 x - 20 \ln (x) + 280)}{x^{2}} \\ = & \frac{20 \ln (x) - 300}{x^{2}} \\ = & \frac{20 (\ln (x) - 15)}{x^{2}} \end{array}$
  Ainsi, $C'$ est la fonction définie sur l'intervalle $[1; 15]$ par $C' (x) = \frac{20 (\ln (x) - 15)}{x^{2}}$ .
2. Étudier le signe de $C' (x)$ .
  Sur l'intervalle $[1; 15]$ , $x^{2} > 0$ . Donc sur cet intervalle $C' (x)$ est du même signe que $\ln (x) - 15$ . Or pour tout réel x strictement positif, $\begin{matrix} \ln (x) - 15 > 0 & \Leftrightarrow & \ln (x) > 15 \\ \Leftrightarrow & x > e^{15} \end{matrix}$
  Comme $e^{15} > 15$ , il s'ensuit que sur l'intervalle $[1; 15]$ , $\ln (x) - 15 < 0$
  Pour tout réel x de l'intervalle $[1; 15]$ , $C' (x) < 0$
3. En déduire les variations de la fonction $C_{M}$ sur l'intervalle $[1; 15]$ .
  Les variations de la fonction $C_{M}$ sur l'intervalle $[1; 15]$ se déduisent du signe de sa dérivée :
  La fonction $C_{M}$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[1; 15]$
Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction $C_{M}$ au point d'abscisse 6,5 et la tracer sur le graphique. (Les coefficients seront arrondis au dixième).
Une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction $C_{M}$ au point d'abscisse 6,5 est : $\begin{matrix} y = C' (6,5) \times (x - 6,5) + C_{M} (6,5) \end{matrix}$
Or $C_{M} (6,5) = \frac{40 \times 6,5 - 20 \ln (6,5) + 280}{6,5} = \frac{540 - 20 \ln (6,5)}{6,5}$ .
et $C' (6,5) = \frac{20 (\ln (6,5) - 15)}{{6,5}^{2}}$
D'où une équation de la tangente T $\begin{matrix} y = \frac{20 (\ln (6,5) - 15)}{{6,5}^{2}} \times (x - 6,5) + \frac{540 - 20 \ln (6,5)}{6,5} & \Leftrightarrow & y = \frac{(20 \ln (6,5) - 300) x}{{6,5}^{2}} + \frac{840 - 40 \ln (6,5)}{6,5} \end{matrix}$
Soit avec des coefficients arrondis au dixième, $y = - 6,2 x + 117,7$
La tangente T à la courbe représentative de la fonction $C_{M}$ au point d'abscisse 6,5 a pour équation $y = - 6,2 x + 117,7$ .

partie c

À l'aide du graphique :

Déterminer l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles l'entreprise peut faire un bénéfice. On donnera la réponse sous la forme d'un intervalle dont les bornes sont des entiers.
L'entreprise peut faire un bénéfice quand le prix de vente P en euro d'un article est supérieur au coût moyen $C_{M}$ d'un article . C'est à dire pour toute production x telle que $P (x) > C_{M} (x)$ .
Graphiquement, il s'agit de déterminer l'intervalle des abscisses des points de la droite d'ajustement affine situés au dessus de la courbe représentative de la fonction $C_{M}$ .
L'entreprise peut faire un bénéfice pour toute production x exprimée en milliers d'articles, telle que $x \in [4; 13]$
Quelle quantité faut-il fabriquer pour obtenir un bénéfice maximum ?
Le bénéfice B réalisé sur la vente d'un article est $\begin{matrix} B (x) = P (x) - C_{M} (x) & Soit & B (x) = - 6,2 x + 142 - \frac{40 x - 20 \ln (x) + 280}{x} \end{matrix}$
Graphiquement, la fonction B est croissante puis décroissante. Le maximum de la fonction B est atteint pour la valeur du réel x qui annule la dérivée.
Or $B' (x) = - 6,2 - C' (x)$ par conséquent, $\begin{matrix} B' (x) = 0 & \Leftrightarrow & C' (x) = 6,2 \end{matrix}$
D'après la deuxième question de la partie B $C' (6,5) \approx 6,2$
L'entreprise réalise un bénéfice maximum pour la production et la vente de 6,5 milliers d'articles.
remarque
La dérivée du coût moyen est assimilée au coût moyen marginal. Tant que le coût moyen marginal est inférieur au prix de vente d'un article, l'entreprise peut augmenter sa production pour augmenter son bénéfice.
Par conséquent, le bénéfice maximum est obtenu gaphiquement, pour le point de la courbe représentative de la fonction $C_{M}$ tel que la tangente à la courbe en ce point soit parallèle à la droite représentative du prix de vente P.

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