contrôles en terminale ES

contrôle du 17 avril 2010

correction de l'exercice 3

Une entreprise fabrique un composant pour ordinateur en grande quantité. Une étude statistique a permis de constater que 5 composants sur mille sortant de son usine sont défectueux.
L'entreprise décide de mettre en place un test de fiabilité de ces articles avant leur mise en vente.
Parmi les composants en parfait état, 94% réussissent le test et parmi ceux défectueux, seulement 2% réussissent le test.
On choisit un composant au hasard et on considère les événements suivants :
D  « le composant est défectueux » ;
T  « le composant passe le test avec succès ».

  1. Quelle est la probabilité qu'un composant soit défectueux et qu'il ne réussisse pas le test ?

    p(DT¯)=pD(T¯)×p(D)

    Or 5 composants sur mille sont défectueux donc p(D)=0,005 et p(D¯)=0,995. 2% des composants défectueux réussissent le test d'où pD(T)=0,02 et pD(T¯)=0,98. Donc p(DT¯)=0,98×0,005=0,0049

    La probabilité qu'un composant soit défectueux et qu'il ne réussisse pas le test est égale à 0,0049.


  2. Montrer que la probabilité qu'un composant ne réussisse pas le test est égale à 0,0646.

    Les évènements D et T sont relatifs à la même épreuve alors d'après la formule des probabilités totales : p(T¯)=p(DT¯)+p(D¯T¯)

    Parmi les composants en parfait état, 94% réussissent le test d'où pD¯(T)=0,94 et pD¯(T¯)=0,06. Donc p(D¯T¯)=pD¯(T¯)×p(D¯)Soitp(D¯T¯)=0,06×0,995=0,0597

    Par conséquent :p(T¯)=0,0049+0,0597=0,0646

    Ainsi, la probabilité qu'un composant ne réussisse pas le test est égale à 0,0646.


  3. Quelle est la probabilité qu'un composant n'ayant pas passé le test avec succès soit défectueux ?

    pT¯(D)=p(DT¯)p(T¯)SoitpT¯(D)=0,00490,06460,0759

    La probabilité qu'un composant n'ayant pas passé le test avec succès soit défectueux est égale à 0,0759.


  4. On prélève au hasard trois composants qui n'ont pas passé le test avec succès, on suppose que le nombre de composants est suffisamment  grand pour considérer ces trois prélèvements comme étant indépendants.
    Quelle est la probabilité qu'un composant au moins ne soit pas défectueux ?

    Prendre au hasard et de manière indépendante trois composants qui n'ont pas réussi le test est modélisé par la répétition de trois expériences de Bernoulli indépendantes.
    La loi de probabilité associée au nombre de composants défectueux est une loi binomiale de paramètres 0,0759 et 3.

    L'évènement A « un composant au moins n'est pas défectueux » est l'évènement contraire de l'évènement « les trois composants sont défectueux » dont la probabilité est égale à 0,07593 . D'où P(E)=1-0,075930,9996

    Arrondie à 10−4 près, la probabilité qu'il y ait au moins un composant qui n'est pas défectueux est égale à 0,9996.



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