contrôle du 17 avril 2010

correction de l'exercice 4

On considère la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}}$. On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée def. Dans le repère orthogonal de l'annexe  ci-dessous, la courbe $C_f$ tracée représente la fonction f.

partie a

1. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$. Interpréter graphiquement ces résultats.

   • $\underset{x\to -\infty }{\lim }1+{\mathrm{e}}^{-x}=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=0$ alors par composition, $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}}=0$

     Ainsi, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$. L'axe des abscisses est asymptote à la courbe $C_f$ en $-\infty$.

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   • $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-x}=0$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }1+{\mathrm{e}}^{-x}=1$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}}=1$

     Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$ donc la courbe $C_f$ admet pour asymptote la droite d'équation $y=1$ en $+\infty$.

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2. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   $f={\displaystyle \frac{1}{u}}$ d'où $f\prime =-{\displaystyle \frac{u\prime }{u^2}}$ . Avec pour tout réel x, $u\left(x\right)=1+{\mathrm{e}}^{-x}$ et $u\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}$.

   Ainsi pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{-{\mathrm{e}}^{-x}}{{\left(1+{\mathrm{e}}^{-x}\right)}^2}}$

   Soit $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{{\left(1+{\mathrm{e}}^{-x}\right)}^2}}$

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3. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs de x et en déduire le sens de variation de f sur $ℝ$.

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ et ${\left(1+{\mathrm{e}}^{-x}\right)}^2>0$ donc ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{{\left(1+{\mathrm{e}}^{-x}\right)}^2}}>0$

   Ainsi, pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)>0$. Donc f est une fonction strictement croissante.

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4. Déterminer une équation de la droite D tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 0.

   Une équation de la tangente D à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0 est : $$\begin{array}{c}y=f\prime \left(0\right)\times \left(x-0\right)+f\left(0\right)\end{array}$$

   Or $f\left(0\right)={\displaystyle \frac{1}{1+{\mathrm{e}}^0}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

   et $f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^0}{{\left(1+{\mathrm{e}}^0\right)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

   D'où une équation de la tangente D : $y={\displaystyle \frac{x}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

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partie b

1. Montrer que pour tout réel x, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{1+{\mathrm{e}}^x}}$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{lllll}{\displaystyle \frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}}& =& {\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}}}}& =& {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{1+{\mathrm{e}}^x}}\end{array}$$

   Ainsi pour tout réel x, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{1+{\mathrm{e}}^x}}$.

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2. Soit F la primitive de f sur $ℝ$ telle que $F\left(0\right)=\ln \left(2\right)$. Exprimer $F\left(x\right)$ en fonction de x.

   Posons pour tout réel x, $u\left(x\right)=1+{\mathrm{e}}^x$ donc $u\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x$. D'où $f={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ ( avec $u>0$) , les primitives de la fonction f sont donc de la forme $F=\ln u+c$ avec c réel.

   Soit $F\left(x\right)=\ln \left(1+{\mathrm{e}}^x\right)+c$. Or $F\left(0\right)=\ln \left(2\right)$ par conséquent, $$\begin{array}{ccc}\ln \left(1+{\mathrm{e}}^0\right)+c=\ln \left(2\right)& \iff & c=0\end{array}$$

   La primitive de f telle que $F\left(0\right)=\ln \left(2\right)$ est la fonction F définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)=\ln \left(1+{\mathrm{e}}^x\right)$.

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3. Sur l'annexe ci-dessous, le domaine grisé est délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-2$ et $x=2$. Calculer l'aire en cm², de ce domaine.

   Pour tout réel x, ${\displaystyle \frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}}>0$. Par conséquent, l'aire exprimée en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-2$ et $x=2$ est égale à ${\displaystyle {\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$

   Soit $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_{-2}^2{\displaystyle \frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}}}\mathrm{d}x& =& F\left(2\right)-F\left(-2\right)\\ & =& \ln \left(1+{\mathrm{e}}^2\right)-\ln \left(1+{\mathrm{e}}^{-2}\right)\\ & =& \ln \left({\displaystyle \frac{1+{\mathrm{e}}^2}{1+{\mathrm{e}}^{-2}}}\right)\\ & =& \ln \left({\mathrm{e}}^2\right)\\ & =& 2\end{array}$$

   Or l'unité d'aire est égale à l'aire d'un rectangle de 8 cm²

   L'aire du domaine colorié est égale à une unité d'aire soit 16 cm².

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annexe

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